координатах системы). Практические примеры показывают, что най-
денные таким образом зависимости могут существенно отличаться от
построенных обычным МНК.
Прежде чем использовать МНК рекуррентной формы, учитываю-
щий погрешности входных воздействий, для оценивания параметров
модели (6), представим ее в векторной форме:
y
i
(
k
) =
X
т
(
k
)
∙
θ
i
,
(
k
= 1
, l
)
,
(9)
где
θ
т
i
=
k
a
i
1
, a
i
2
, . . . , a
im
k
— вектор оцениваемых коэффициентов;
X
т
(
k
) =
k
x
1
(
k
)
, x
2
(
k
)
, . . . , x
m
(
k
)
k
— вектор входных координат.
Алгоритм оценивания параметров модели (4) с учетом погрешно-
сти входных координат имеет следующий вид:
ˆ
θ
i
(
k
) = ˆ
θ
i
(
k
−
1) +
K
i
(
k
)[
Z
y
i
(
k
)
−
X
т
(
k
) ˆ
θ
i
(
k
−
1)];
K
i
(
k
) =
D
i
(
k
−
1)
X
(
k
)
D
y
i
(
k
) + ˆ
θ
т
i
(
k
−
1)
D
x
(
k
) ˆ
θ
(
k
−
1) +
X
т
(
k
)
D
i
(
k
−
1)
X
(
k
)
;
(10)
D
i
(
k
) =
D
i
(
k
−
1)
−
−
D
i
(
k
−
1)
X
(
k
)
X
т
(
k
)
D
i
(
k
−
1)
D
y
i
(
k
) + ˆ
θ
т
i
(
k
−
1)
D
x
(
k
) ˆ
θ
(
k
−
1) +
X
т
(
k
)
D
i
(
k
−
1)
X
(
k
)
,
где
K
i
(
k
)
— коэффициент усиления фильтра;
D
i
(
k
)
;
D
x
(
k
)
;
D
yi
(
k
)
—
дисперсионные матрицы ошибок оценок входных и выходных коор-
динат соответственно.
Рассмотрим четкое уравнение регрессии второго порядка с двумя
переменными:
y
=
a
00
+
a
10
x
1
+
a
01
x
2
+
a
11
x
1
x
2
+
a
20
x
2
1
+
a
02
x
2
2
.
(11)
Выходные и входные координаты модели (11) регистрируются изме-
рительной аппаратурой. Случайные погрешности измерений имеют
гауссовый закон распределения и известны их статистические харак-
теристики (математическое ожидание случайных величин равно ну-
лю). Требуется оценить (неизвестные) коэффициенты
ˆ
a
10
,
ˆ
a
01
,
ˆ
a
11
,
ˆ
a
20
,
ˆ
a
02
уравнения регрессии (11).
Пусть
x
1
и
x
2
определяются с погрешностью, дисперсии которых
соответственно равны
D
x
1
и
D
x
2
. Тогда погрешности входного воздей-
ствия (в целях определения этой погрешности воспользуемся методом
линеаризации [12] с учетом того, что переменные мало коррелиро-
ванны) можно определить с помощью выражений (предварительно,
обозначив
x
4
=
x
1
x
2
;
x
5
=
x
2
1
;
x
6
=
x
2
2
):
D
x
4
=
∂x
1
x
2
∂x
1
2
D
x
1
+
∂x
1
x
2
∂x
2
2
D
x
2
=
x
2
2
D
x
1
+
x
2
1
D
x
2
,
108 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 2
