Рис. 6. Система координат и напряжения
Запишем физические соотношения упругости, учитывая темпера-
турные и начальные деформации. В системе координат отдельного
слоя (
x
0
1
, x
0
2
)
(рис. 6) эти соотношения имеют следующий вид:
ε
0
1
ε
0
2
γ
0
12
=
1
E
1
−
μ
21
E
2
0
−
μ
12
E
1
1
E
2
0
0
0
1
G
12
σ
0
1
σ
0
2
τ
0
12
−
ε
0
10
ε
0
20
γ
0
120
+
α
0
1
Δ
T
α
0
2
Δ
T
0
,
(6)
где
ε
0
10
,
ε
0
20
,
γ
0
120
— начальные продольные, поперечные и сдвиговые де-
формации, заданные в системе координат слоя;
α
0
1
, α
0
2
— коэффициенты
линейного температурного расширения (индекс слоя здесь опущен).
Cоотношения, обратные (6), т.е. напряжения, выраженные через
деформации в координатах слоя, представляем следующим образом:
σ
0
= E
0
ε
0
+ E
0
ε
0
0
−
E
0
ε
0
T
,
(7)
где
E
0
=
E
0
1
μ
12
E
0
1
0
μ
12
E
0
2
E
0
22
0
0
0
G
12
; E
0
1
=
E
0
1
1
−
μ
0
12
μ
0
21
.
Если перевести соотношения (7) в систему координат оболочки,
используя преобразование компонент тензора деформаций при пово-
роте системы координат [1, 2], то получаем выражение
σ
= E
ε
+ E
ε
0
−
E
ε
T
,
(8)
где
σ
= [
σ
1
, σ
2
, τ
12
]
т
;
ε
= [
ε
1
, ε
2
, γ
12
]
;
E
— матрица коэффициентов
упругости, имеющая вид
E
11
E
12
E
13
E
21
E
22
E
21
E
31
E
32
E
33
= E =
β
т
E
0
β
;
σ
T
=
β
т
E
0
ε
0
T
;
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1 81
