При решении линейной задачи деформации для слоя, отстоящего
на расстояние
Z
от срединной поверхности, можно записать следую-
щие уравнения [1]:
ε
x
(
z
)
=
ε
x
+
Zκ
x
;
ε
y
(
z
)
=
ε
y
+
Zκ
y
;
γ
xy
(
z
)
=
γ
xy
+
Zχ
xy
,
где
ε
x
=
du
dx
;
κ
x
=
−
d
2
w
dx
2
;
ε
y
=
cos
θ
r
u
+
sin
θ
r
w
;
κ
y
=
−
w
sin
2
θ
r
2
+
u
sin
θ
cos
θ
r
2
+
dw
dx
cos
θ
r
;
γ
xy
=
−
v
cos
θ
r
+
dv
dx
;
χ
xy
=
−
2
v
sin
θ
cos
θ
r
2
+ 2
sin
θ
r
dv
dx
.
(2)
В окончательном виде полученные выражения (2) можно предста-
вить в матричной форме
ε
= LU
,
(3)
или в развернутом виде
ε
1
ε
2
γ
12
κ
1
κ
2
χ
12
=
d
/
dx
0
0
c
r
s
r
0
0
0
−
c
r
+
d
/
dx
0
−
d
2
/
dx
2
0
−
s
r
c
r
−
s
2
r
−
c
r
d
/
dx
0
0
0
−
2
s
r
c
r
+ 2
s
r
d
/
dx
u
w
v
,
где
c
r
=
cos
θ
r
;
s
r
=
sin
θ
r
.
Для приближенного описания свойств зададим аппроксимацию по-
лей перемещений — касательные перемещения аппроксимируем ли-
нейными полиномами, нормальные перемещения — полиномом тре-
тьей степени:
u
=
a
1
+
a
2
x
;
w
=
a
3
+
a
4
x
+
a
5
x
2
+
a
6
x
3
;
v
=
a
7
+
a
8
x,
или
U = Φa
,
(4)
что при стыковке отдельных КЭ (рис. 5) обеспечивает непрерывность
касательных, нормальных перемещений и углов поворота нормаль-
ных сечений. В развернутом виде уравнение (4) выглядит следующим
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1 79
