а при использовании формулы (18) из условия
I
1
[
q
]
≤
J
0
найдем ниж-
нюю оценку
λ
−
=
= 1
/
(1
−
C
V
+2
C
V
((
ar
0
+1)
/
¯
λ
−
ar
1
−
1)
/
(
ar
1
)
2
+
C
V
(
r
0
/r
1
)
2
/
¯
λ
)
≤
λ
⊥
.
(20)
При оценке возможной погрешности формулы (14) будем рассма-
тривать ту же неоднородную область
V
в виде прямоугольного па-
раллелепипеда (см. рис.1), но теперь идеально теплоизолированными
считаем его верхнюю, нижнюю и две боковые грани с площадями
HL
. Коэффициенты теплопроводности
λ
⊥
,
λ
◦
⊥
и
λ
∗
⊥
для этой области
следует заменить соответственно на
λ
,
λ
◦
и
λ
∗
. Для минимизируемо-
го функционала (15) в качестве допустимого примем распределение
температуры с постоянным вектором градиента, направленным вдоль
оси цилиндрической составной частицы и имеющим модуль
G
0
. Тогда
получим
J
2
[
T
] =
=
G
2
0
L
2
λ BH
−
πr
2
m
2
λ
+
π
r
2
m
−
r
2
1
2
λ
m
+
πλ
∗
r
1
r
0
re
ar
dr
+
π
r
2
0
2
λ
◦
.
(21)
Для максимизируемого функционала (17) в данном случае допу-
стимо рассматривать распределение вектора
q
плотности теплового
потока с постоянным значением
q
0
=
−
λ G
0
единственной соста-
вляющей этого вектора, параллельной волокнам. На одной из боковых
граней площадью
BH
температуру примем за нуль отсчета, а темпера-
туру противоположной грани зададим равной
G
0
L
. При этом формула
(17) примет вид
I
2
[
q
] =
−
(
λ G
0
)
2
L
2
×
×
BH
−
πr
2
m
/
2
λ
+
π
r
2
m
−
r
2
1
2
λ
m
+
π
λ
∗
r
1
r
0
re
−
ar
dr
+
π
r
2
0
2
λ
◦
⊥
+
+
λ G
2
BHL.
(22)
Для однородной области
V
с коэффициентом теплопроводности
λ
функционал (15) примет теперь значение
J
∗
0
= (
λ /
2)
G
2
0
BHL
и в
силу экстремальных свойств функционалов (15) и (17) будет справед-
ливо неравенство
J
2
[
T
]
≥
J
∗
0
≥
I
2
[
q
]
, которое с учетом формул (21)
и (22) приведет к следующим двусторонним оценкам безразмерного
10 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 4
