и трансверсально изотропных волокон композит также будет иметь
свойство трансверсальной изотропии [9], т.е. значение
λ
его эффек-
тивного коэффициента теплопроводности в направлении расположе-
ния волокон будет в общем случае отличаться от значения
λ
⊥
этого
коэффициента в любом направлении, перпендикулярном волокнам.
Для оценки значения
λ
⊥
построим математическую модель процес-
са переноса тепловой энергии в композите применительно к предста-
вительному элементу его структуры в виде достаточно протяженной в
направлении расположения волокон цилиндрической составной части-
цы. Поперечное сечение этой частицы включает в себя соответствую-
щий волокну круг радиусом
r
0
, окруженный кольцевым промежуточ-
ным слоем с внешним радиусом
r
1
=
r
0
+
h
, в свою очередь окружен-
ный изотропным слоем матрицы с внешним радиусом
r
m
. Составная
частица в тепловом отношении взаимодействует с неограниченным
массивом однородного материала, коэффициент теплопроводности
λ
⊥
которого подлежит определению как одна из двух эффективных ха-
рактеристик теплопроводности композита, т.е. макроскопически од-
нородного материала. Таким образом, модель структуры композита
содержит четыре фазы: волокно, промежуточный слой, слой матри-
цы и неограниченный массив однородного материала. При этом для
объемной концентрации волокон с учетом промежуточного слоя будет
справедливо равенство
C
V
=
r
2
1
/r
2
m
.
Центр поперечного сечения составной частицы поместим в нача-
ле полярной системы координат, обозначив через
r
и
ϕ
радиальную и
угловую координаты соответственно. Примем, что на большом рассто-
янии
r r
m
от начала координат задан вектор градиента температур-
ного поля в однородном материале, направленный по оси, от которой
происходит отсчет угловой координаты, т.е. при
r
→ ∞
установивше-
еся распределение температуры в этом материале описывает функция
T
∞
(
r, ϕ
) =
Gr
cos
ϕ
, где
G
— модуль вектора градиента. Эта функция
удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в полярных координатах
имеет вид
1
r
∂
∂r
r
∂T
∂r
+
1
r
2
∂
2
T
∂ϕ
2
= 0
.
(1)
По мере приближения к составной частице температурное по-
ле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое
также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым
Δ
T
(
r, ϕ
) = (
B/r
) cos
ϕ
, где
B
— подлежащий определению постоян-
ный коэффициент. Таким образом, температурное поле в однородном
материале, удовлетворяющее заданному условию при
r
→ ∞
и урав-
нению (1), описывает функция
T
(
r, ϕ
) =
T
∞
(
r, ϕ
) + Δ
T
(
r, ϕ
) = (
Gr
+
B/r
) cos
ϕ.
(2)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 4 5
