r
=
r
0
из условий непрерывности распределения температуры и ради-
альной составляющей вектора плотности теплового потока следует
T
◦
(
r
0
, ϕ
) =
T
∗
(
r
0
, ϕ
)
,
∂T
◦
/∂r
r
=
r
0
=
∂T
∗
/∂r
r
=
r
0
.
Отсюда, используя равенства (4) и (7), находим
A
◦
= (
A
∗
/α
)(1
−
1
/α
) +
B
∗
ε/r
2
0
, A
◦
=
A
∗
/α
2
−
B
∗
(1 +
α
)
ε/r
2
0
,
(8)
где
α
=
ar
0
и
ε
= exp(
−
α
)
. Из аналогичных условий при
r
=
r
1
с
учетом формул (3) и (7) следует
A
∗
α
∗
1
−
1
α
∗
+
B
∗
ε
∗
r
2
1
=
A
m
+
B
m
r
2
1
,
A
∗
α
2
∗
−
B
∗
ε
∗
1 +
α
∗
r
2
1
=
A
m
−
B
m
r
2
1
,
(9)
где
α
∗
=
αr
1
/r
0
и
ε
∗
= exp(
−
α
∗
)
. Наконец, из подобных условий при
r
=
r
m
и соотношений (2) и (3) получим
A
m
+
B
m
/R
2
m
=
G
+
B/r
2
m
, A
m
−
B
m
/r
2
m
=
λ
⊥
(
G
−
B/r
2
m
)
,
(10)
где
λ
⊥
=
λ
⊥
/λ
m
.
Последовательным исключением из равенств (8)–(10) неизвестных
коэффициентов можно получить выражение для коэффициента
B
, ко-
торое является весьма громоздким. Если в модели композита предста-
вительный элемент его структуры в виде составной цилиндрической
частицы радиусом
r
m
заменить равновеликим цилиндром из однород-
ного материала с искомым значением
λ
коэффициента
λ
⊥
теплопро-
водности композита в направлении, перпендикулярном волокнам, то
возмущение температурного поля в окружающем эту частицу одно-
родном материале, пропорциональное коэффициенту
B
, должно ис-
чезнуть. Тогда из условия
B
= 0
получим
λ
⊥
= (
Q
−
SC
V
)
/
(
Q
+
SC
V
)
,
(11)
где
Q
=
α
∗
(
α
+2)
−
¯
λα
∗
(2
−
α
)
,
S
= (
α
+2)(
α
∗
−
2)+ ¯
λ
(
α
∗
+2)(2
−
α
)
.
При отсутствии промежуточного слоя (
r
1
=
r
0
) равенство (11) путем
предельного перехода при
α
→ ∞
можно привести к формуле
λ
◦
⊥
= (1 + ¯
λ
−
(1
−
¯
λ
)
C
V
)
/
(1 + ¯
λ
+ (1
−
¯
λ
)
C
V
)
.
(12)
Эффективный коэффициент
λ
теплопроводности композита в на-
правлении расположения волокон в случае их достаточно большой по
сравнению с
r
0
длины можно представить на основе смесевой моде-
ли [11] в виде
λ
= (1
−
C
V
)
λ
m
+
C
V
(
r
0
/r
1
)
2
λ
◦
+
C
V
2
r
2
1
r
1
r
0
λ
∗
(
r
)
rdr,
(13)
где
λ
◦
— коэффициент теплопроводности волокна в направлении
его длины, а
λ
∗
— коэффициент теплопроводности промежуточного
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 4 7
