Примем в качестве допустимого для минимизируемого функцио-
нала [13]
J
[
T
] =
1
2
V
Λ(
M
)
∇
T
(
M
)
2
dV
(
M
)
,
(15)
где
∇
— дифференциальный оператор Гамильтона, линейное по ши-
рине параллелепипеда распределение температуры с постоянной со-
ставляющей градиента
G
. В этом случае из формулы (15) получим
J
1
[
T
] =
G
2
L
2
×
×
λ
⊥
BH
−
πr
2
m
2
λ
⊥
+
π
r
2
m
−
r
2
1
2
λ
m
+
πλ
∗
r
1
r
0
re
ar
dr
+
π
r
2
0
2
λ
◦
⊥
.
(16)
Для максимизируемого функционала [13]
I
[q] =
−
1
2
V
q(
M
)
2
Λ(
M
)
dV
(
M
)
−
S
T
(
P
)q(
P
)
·
n(
P
)
dS
(
P
)
, P
∈
S,
(17)
где
n
— единичный вектор внешней нормали к поверхности
S
, в каче-
стве допустимого распределения вектора
q
плотности теплового пото-
ка примем постоянное значение
q
=
−
λ
⊥
G
единственной составляю-
щей этого вектора, перпендикулярной боковым граням параллелепи-
педа. Тогда формула (17) примет вид
I
1
[
q
] =
−
(
λ
⊥
G
)
2
L
2
×
×
BH
−
πr
2
m
/
2
λ
⊥
+
π
r
2
m
−
r
2
1
2
λ
m
+
π
λ
∗
r
1
r
0
re
−
ar
dr
+
π
r
2
0
2
λ
◦
⊥
+
λ
⊥
G
2
0
BHL.
(18)
Принятые допустимые распределения температуры и плотности
теплового потока для неоднородной области отличаются от действи-
тельных и поэтому значения
J
1
[
T
]
и
I
1
[
q
]
не будут совпадать, причем
J
1
[
T
]
> I
1
[
q
]
. В промежутке между этими значениями должно быть
расположено и значение
J
∗
0
= (
λ
⊥
/
2)
G
2
BHL
минимизируемого функ-
ционала (15) для однородной области с коэффициентом теплопровод-
ности
λ
⊥
. Тогда при
(
r
1
/r
m
)
2
=
C
V
с учетом формулы (16) из условия
J
1
[
T
]
≥
J
0
получим для безразмерного отношения
λ
⊥
=
λ
⊥
/λ
m
верх-
нюю оценку
λ
+
= 1
−
C
V
+2
C
V
(
ar
1
−
1
−
(
ar
0
−
1) ¯
λ
)
/
(
ar
1
)
2
+ ¯
λ
(
r
2
0
/r
2
1
)
C
V
≥
λ
⊥
,
(19)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 4 9
