Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в
слое матрицы
T
m
(
r, ϕ
) = (
A
m
r
+
B
m
/r
) cos
ϕ
(3)
и в волокне
T
◦
(
r, ϕ
) = (
A
◦
r
+
B
◦
/r
) cos
ϕ,
(4)
причем в силу ограниченности температуры в центре волокна
B
◦
= 0
.
В промежуточном слое с зависящим от радиальной координаты
r
коэффициентом
λ
∗
⊥
(
r
)
теплопроводности в направлении, перпендику-
лярном волокнам, распределение температуры
T
∗
(
r, ϕ
)
должно удо-
влетворять дифференциальному уравнению
1
r
∂
∂r
λ
∗
⊥
r
∂T
∗
∂r
+
λ
∗
⊥
r
2
∂
2
T
∗
∂ϕ
2
= 0
.
(5)
Положим
T
∗
(
r, ϕ
) =
f
(
r
) cos
ϕ
и после подстановки в уравнение
(5) получим однородное обыкновенное дифференциальное уравнение
(ОДУ)
f
+ (1
/r
+ (
λ
∗
⊥
)
/λ
∗
⊥
)
f
−
(2
/r
2
)
f
= 0
(6)
второго порядка относительно неизвестной функции
f
(
r
)
(штрих озна-
чает производную по
r
).
Непрерывное изменение коэффициента теплопроводности проме-
жуточного слоя представим зависимостью
λ
∗
⊥
(
r
) =
λ
∗
exp(
ar
)
, удо-
влетворяющей условиям
λ
◦
⊥
=
λ
∗
exp(
ar
0
)
и
λ
m
=
λ
∗
exp(
ar
1
)
, где
λ
◦
⊥
— коэффициент теплопроводности волокна в радиальном напра-
влении. Из этих условий следует, что
ar
1
=
−
(ln ¯
λ
)
/
(1
−
r
0
/r
1
)
и
λ
∗
=
λ
m
exp(
ar
1
)
, где
¯
λ
=
λ
◦
⊥
/λ
m
. Тогда ОДУ (6) можно представить
в виде
(
f
+ (
a
+ 1
/r
)
f
) = 0
и после интегрирования получить ОДУ
f
+ (
a
+ 1
/r
)
f
=
A
∗
= const
первого порядка, решением которого
будет [10]
f
(
r
) =
B
∗
+
A
∗
e
F
(
r
)
dr e
−
F
(
r
)
, F
(
r
) = (
a
+1
/r
)
dr
=
ar
+ln
r,
где
B
∗
= const
. Если учесть, что
e
F
(
r
)
dr
=
re
ar
dr
=
r
a
−
1
a
2
e
ar
,
то в итоге распределение температуры в промежуточном слое примет
вид
T
∗
(
r, ϕ
) = (
A
∗
/a
)(1
−
1
/
(
ar
)) cos
ϕ
+ (
B
∗
/r
)
e
−
ar
cos
ϕ.
(7)
В равенства (2)–(4) и (7) входят шесть неизвестных коэффициен-
тов
B
,
A
m
,
B
m
,
A
◦
,
A
∗
и
B
∗
, которые необходимо найти из граничных
условий на сферических поверхностях радиусами
r
0
,
r
1
и
r
m
. При
6 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 4
