8 / 12
(без учета податливости стержня) может быть принята в виде
q
(
x, t
) =
a
¨
h
(
x, t
) +
b
˙
h
(
x, t
)
|
˙
h
(
x, t
)
|
,
(18)
где
a
=
C
1
ρ
πd
2
4
,
b
=
C
2
ρ
d
2
.
Нелинейную функцию в соотношении (18) линеаризуем по крите-
рию равенства дисперсий и представляем в виде
˙
h
|
h
|
=
k
˙
h
, где
k
(
x
) =
√
3
x
l
0
S
˙
h
(
x
=
l
0
)
(19)
— коэффициент линеаризации. Здесь
S
˙
h
(
x
=
l
0
)
— среднеквадрати-
ческое отклонение скорости изменения высоты волн на поверхности
моря.
Решение уравнения (17) при учете только первой формы колебаний
ϕ
(
x
)
будем искать в виде
V
(
x, t
) =
u
(
t
)
ϕ
(
x
)
,
(20)
где
u
(
t
)
— функция времени, подлежащая определению,
ϕ
(
x
)
≈
≈
1
−
cos
πx
2
l
— приближенное уравнение для первой формы коле-
баний стержня.
Подставив выражение (20) в уравнение (17) и умножив его скаляр-
но на функцию
ϕ
(
x
)
, получим следующее дифференциальное уравне-
ние для определения функции
u
(
t
)
:
M
¨
u
+
λu
=
Q
(
t
)
,
(21)
где
M
= (
μϕ, ϕ
) =
m
+
3
2
μ
0
l
−
4
π
μ
0
l
— обобщенная масса;
λ
=
l
Z
0
(
EIϕ
00
(
x
))
00
ϕ
(
x
)
dx
≈
l
Z
0
EI
(
ϕ
00
(
x
))
2
dx
=
EIπ
4
32
l
3
— обобщенная жесткость;
Q
(
t
) = (
q
(
x, t
)
, ϕ
(
x
)) =
a
x
l
0
, ϕ
(
x
) ¨
h
(
t
) +
+
b
√
3
S
˙
h
x
2
l
2
0
, ϕ
(
x
) ˙
h
(
t
)
— обобщенная сила.
После вычисления скалярных произведений получаем:
Q
(
t
) = (
q
(
x, t
)
, ϕ
(
x
))
≈
0
,
27
l
2
l
0
a
¨
h
(
t
) + 0
,
37
l
3
l
2
0
bS
˙
h
˙
h
(
t
)
.
Уравнение (21) приводим к виду
¨
u
+
ω
2
0
u
=
f
(
t
)
,
(22)
где
ω
2
0
=
λ
M
,
f
(
t
) =
1
M
Q
(
t
)
.
88 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 2