10 / 12
где коэффициент линеаризации
k
(
x
) =
√
3
S
˙
V
(
x
)
.
(28)
Здесь
S
2
˙
V
(
x
) =
∞
Z
−∞
ω
2
S
V
(
ω, x
)
dω
(29)
— дисперсия скорости движения стержня в сечении с координатой
х
;
S
(
ω, x
)
— спектральная плотность перемещения в сечении с коорди-
натой
х
.
Дифференциальное уравнение (25) принимает вид
μ
∂
2
V
∂t
2
+
α
(
S
˙
V
(
x
))
∂V
∂t
+
CV
=
q
(
t
)
,
(30)
где
α
(
S
˙
V
(
x
)) =
c
2
ρ
в
d
2
√
3
S
˙
V
(
x
)
.
(31)
Особенность уравнения (30) состоит в том, что его решение зави-
сит от неизвестной функции
S
˙
V
(
x
)
, которая должна быть определена
по ходу решения задачи.
Решение уравнения (30) будем искать в виде
V
(
x, t
) =
u
(
t
)
ϕ
(
x
)
,
(32)
где
ϕ
(
x
)
≈
1
−
cos
πx
2
l
— приближенное выражение первой формы
колебаний;
u
(
t
)
— функция времени, подлежащая определению.
Подставив выражение (32) в уравнение (30) и умножив его ска-
лярно на функцию
ϕ
(
x
)
, получим дифференциальное уравнение для
определения функции
u
(
t
)
, аналогичное (6). Выражения для обоб-
щенных масс по первой форме колебаний и жесткости см. с. 81;
β
= (
α
(
S
˙
V
(
x
))
ϕ
(
x
)
, ϕ
(
x
))
— обобщенный коэффициент демпфиро-
вания;
Q
(
t
) = (
q
(
t
)
, ϕ
(
x
)) =
h
l
1
−
2
π
−
l
0
+
2
π
l
sin
l
0
π
2
l
i
q
(
t
)
—
обобщенная сила. Здесь запятой указано скалярное произведение
соответствующих функций.
Уравнение (6) приводим к виду
¨
u
+ 2
n
˙
u
+
ω
2
0
u
=
f
(
t
)
,
(33)
где
2
n
=
β
M
,
ω
2
0
=
λ
M
;
f
(
t
) =
1
M
Q
(
t
)
.
Решение этого уравнения можно получить так же, как это было
сделано при рассмотрении уравнения (7). Определенные упрощения
получим, если заметим, что
S
˙
V
(
x
)
≈
ω
0
S
V
(
x
) =
ω
0
S
u
ϕ
(
x
)
.
90 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 2