4 / 12
где
M
= (
μϕ, ϕ
)
— обобщенная масса;
β
= (
αϕ, ϕ
)
— обобщенный
коэффициент демпфирования;
λ
= (
Cϕ, ϕ
)
— обобщенная жесткость;
Q
= (
q, ϕ
)
— обобщенная сила. Здесь запятой обозначено скаляр-
ное произведение соответствующих функций. При
EI
=
const и
ϕ
(
x
) =
1
2
1
−
cos
πx
l
получаем:
M
=
m
+
3
2
μ
0
l
−
4
π
μ
0
l
+
3
2
μ
1
l
0
−
4
lμ
1
sin
πl
0
2
l
π
+
1
2
lμ
1
sin
πl
0
2
l
π
;
λ
=
l
Z
0
(
EIϕ
00
(
x
))
00
ϕ
(
x
)
dx
≈
l
Z
0
EI
(
ϕ
00
(
x
))
2
dx
=
EIπ
4
32
l
3
;
Q
(
t
)=
−
m
+
μ
0
l
1
−
2
π
+
μ
1
l
l
0
l
−
2 sin
πl
0
2
l
a
(
t
)
−
αl
1
−
2
π
˙
y
(
t
);
ϕ
1
=
1
l
0
l
0
Z
0
ϕ
2
(
x
)
dx
=
3
2
−
4
l
l
0
sin
πl
0
2
l
π
+
1
2
l
l
0
sin
πl
0
l
π
;
β
= (
αϕ
(
x
)
, ϕ
(
x
))
≈
αl
0
3
2
−
4
l
l
0
sin
πl
0
2
l
π
+
1
2
l
l
0
sin
πl
0
l
π
.
Уравнение (6) приводим к виду
¨
u
+ 2
n
˙
u
+
ω
2
0
u
=
f
(
t
)
,
(7)
где
ω
2
0
=
λ
M
,
f
(
t
) =
1
M
Q
(
t
)
,
2
n
=
β
M
.
Максимальные напряжения в стержне будут вычисляться по фор-
муле
σ
(
t, x
= 0) =
E
π
2
d
8
l
2
u
(
t
)
.
(8)
Особенность уравнения (7) состоит в том, что коэффициент демп-
фирования
n
зависит от неизвестной дисперсии процесса
˙
u
(
t
)
.
Передаточные функции от
f
(
t
)
к
u
(
t
)
и от
f
(
t
)
к
˙
u
(
t
)
определяются
по формулам
H
fu
(
iω
) =
1
ω
2
0
−
ω
2
+ 2
niω
, H
f
˙
u
(
iω
) =
iωH
fu
(
iω
)
.
(9)
Характерная особенность сейсмического воздействия состоит в его
нестационарности и относительной кратковременности. Примерно к
шестой секунде такое воздействие обычно достигает максимума и к
84 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 2