Для отыскания конкретного решения (1) задаются граничные и на-
чальные условия. В центре цилиндра, очевидно, должно выполняться
условие
u
(0
, τ
) = 0
.
(2)
Поверхность цилиндра радиуса
R
контактирует с внешнейсредой, да-
вление которой
p
(
τ
)
в общейпостановке задачи является периодиче-
скойфункциейвремени, поэтому второе граничное условие принимает
вид
σ
r
(
R, τ
) =
−
p
(
τ
)
.
(3)
Записать уравнение (3) через перемещения можно, используя связь
между напряжениями и деформациями [6]:
σ
r
=
E
(1
−
2
μ
) (1 +
μ
)
(1
−
μ
)
∂u
∂r
+
μ
u
r
−
Eα
T
ϑ
1
−
2
μ
,
σ
ϕ
=
E
(1
−
2
μ
) (1 +
μ
)
(1
−
μ
)
u
r
+
μ
∂u
∂r
−
Eα
T
ϑ
1
−
2
μ
,
σ
z
=
μE
(1
−
2
μ
) (1 +
μ
)
∂u
∂r
+
u
r
−
Eα
T
ϑ
1
−
2
μ
,
(4)
где
σ
r
,
σ
ϕ
,
σ
z
— радиальные, окружные и осевые напряжения соответ-
ственно. С помощью первойформулы (4) получаем (3) в следующем
виде:
(1
−
μ
)
∂u
(
R, τ
)
∂r
+
μ
u
(
R, τ
)
R
=
= (1 +
μ
)
α
T
ϑ
(
R, τ
)
−
(1
−
2
μ
)
p
(
τ
)
E
.
(5)
Как было отмечено ранее, необходимо также задать начальные рас-
пределения перемещенийи скоростейперемещений:
u
(
r,
0) =
u
0
(
r
)
,
∂u
(
r,
0)
∂τ
= ˙
u
0
(
r
)
.
(6)
Решение начально-краевойзадачи (1), (2), (5) и (6) состоит из двух
частей. Первая представляет собой интересующую нас периодическую
функцию, являющуюся частным решением неоднородного уравнения
(1), которая удовлетворяет граничным условиям и не зависит от на-
чальных. Вторая — соответствует решению задачи при однородных
уравнении (1) и краевом условии (5), удовлетворяет условию (2) и
совместно с частным решением — начальным условиям. Последняя
функция, являющаяся апериодической, не затухает с течением вре-
мени, поскольку (1) не учитывает демпфирования. Она может быть
представлена по времени в виде ряда из гармоник, не имеющих об-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 2 49
