распределения температуры, необходимого для последующего опре-
деления теплонапряженного состояния, возможен только численными
методами из-за сложнойгеометрии детали и сопряженных с газодина-
микойграничных условийтеплообмена. Поэтому в работе [4] авторы
предложили исследовать общие закономерности распространения тем-
пературных волн на модели неограниченного цилиндра при нестацио-
нарных периодических условиях теплообмена с окружающейсредойи
получили приближенное аналитическое выражение для его квазиста-
ционарного температурного поля. В настоящейстатье ставится задача
расчета термоциклических напряженийв цилиндре с использованием
полученнойзависимости при характерных для газовых турбин пара-
метрах.
Математическая модель.
Строго говоря, процессы теплопровод-
ности и упругого деформирования твердого тела связаны между собой,
поскольку при деформировании выделяется или поглощается теплота,
которая влияет на распределение температуры. Однако для металлов
эффект связанности полейдеформации и температуры обычно мал
и им можно пренебречь [5, 6]. В таком случае, принимая также во
внимание, что рассматривается плоское деформированное состояние,
уравнение термоупругости для перемещенийимеет вид [5, 6]
1
r
∂
∂r
r
∂u
∂r
−
u
r
2
−
1
c
2
∂
2
u
∂τ
2
=
1 +
μ
1
−
μ
α
T
∂ϑ
∂r
,
(1)
где
u
=
u
(
r, τ
)
— радиальное перемещение точки цилиндрической
поверхности радиуса
r
в момент времени
τ
;
μ
— коэффициент
Пуассона;
c
= (1
−
μ
)
E/
[(1
−
2
μ
) (1 +
μ
)
ρ
]
— скорость распро-
странения продольных волн в упругойсреде материала цилиндра;
E
— модуль упругости первого рода;
ρ
– плотность материала ци-
линдра;
α
T
— коэффициент линейного температурного расширения;
ϑ
(
r, τ
) =
T
(
r, τ
)
−
T
(
r,
0)
— изменение температуры
T
(
r, τ
)
цилиндра
относительно начальной
T
(
r,
0)
.
В общем случае начальное распределение температуры может быть
неравномерным, а также могут иметь место начальные деформации и
напряжения. Однако при работе материала в области нагрузок, где его
поведение описывается уравнениями линейной теории упругости, об-
щее напряженно-деформированное состояние определяется методом
суперпозиции соответствующих величин от действия различных фак-
торов. Поэтому в дальнейшем, исходя из поставленных целей, огра-
ничимся рассмотрением нестационарных периодических процессов
при условии равномерного начального температурного поля цилиндра
T
(
r,
0) =
T
0
=
const, отсылая интересующихся вопросами стацио-
нарных температурных напряженийк литературе по даннойтематике,
например [7].
48 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 2
