4 / 19
ds
z
dt
= 2
G
˙
ε
z
+
1
3
ρ
dρ
dt
+
δ
z
;
ds
r
dt
= 2
G
˙
ε
r
+
1
3
ρ
dρ
dt
+
δ
r
;
ds
θ
dt
= 2
G
˙
ε
θ
+
1
3
ρ
dρ
dt
;
dτ
rz
dt
=
G
˙
ε
rz
+
δ
rz
,
где
δ
z
,
δ
z
,
δ
rz
— поправки составляющих девиатора тензора напря-
жений, связанные с поворотом фиксированного элемента среды как
жесткого целого, и рассчитываемые согласно зависимостям
δ
z
=
τ
rz
∂v
z
∂r
−
∂v
r
∂z
;
δ
r
=
τ
rz
∂v
r
∂z
−
∂v
z
∂r
;
δ
rz
=
1
2
(
s
z
−
s
r
)
∂v
r
∂z
−
∂v
z
∂r
.
Далее выполняется проверка условия пластичности Мизеса с кор-
ректировкой в случае необходимости определенных описанным обра-
зом компонент девиатора тензора напряжений. Для этого рассчитыва-
ется вспомогательная функция
J
= 2
s
2
r
+
s
2
z
+
s
2
θ
+ 2
τ
2
rz
.
Если для найденных в предположении упругого поведения мате-
риала значений
s
z
,
s
r
,
s
θ
,
τ
rz
выполняется условие
J >
(2/3)
σ
2
Y
(что
соответствует состоянию пластического течения материала), то они
корректируются путем домножения на
p
2/(3
J
)
σ
Y
[6].
С использованием рассчитываемых на основании теории пласти-
ческого течения значений
s
z
,
s
r
,
s
θ
и давления
p
в материалах опре-
деляются нормальные компоненты тензора напряжений
σ
z
=
s
z
−
p
,
σ
r
=
s
r
−
p
,
σ
θ
=
s
θ
−
p
, входящие в уравнения радиального и осевого
движения частиц материала.
Для расчета давления в металлах в зависимости от их объемной
деформации (относительной плотности
ρ
/
ρ
0
) широко используется ба-
ротропное уравнение в форме Тэта [3]:
p
=
A
((
ρ
/
ρ
0
)
n
−
1)
,
(1)
где
ρ
0
— плотность материала в нормальных условиях (при нулевом
давлении),
A
,
n
— эмпирические константы материала. При этом вли-
янием на давление внутренней энергии материала в условиях взаи-
модействия металлических ударников с металлическими преградами
68 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 1