3 / 19
ρ
dv
z
dt
=
∂σ
z
∂z
+
∂τ
rz
∂r
+
τ
rz
r
,
где
σ
r
,
σ
z
,
σ
θ
,
τ
rz
— нормальные и касательные компоненты тензора
напряжений.
Определение возникающих в материалах преграды и ударника (ме-
таллах) при их деформировании механических напряжений проводит-
ся в соответствии с моделью сжимаемой упруго-пластической среды.
Компоненты тензора скоростей деформации
˙
ε
r
,
˙
ε
z
,
˙
ε
θ
,
˙
ε
rz
материалов
с использованием кинематических соотношений выражаются через
компоненты вектора скорости:
˙
ε
r
=
∂v
r
∂r
; ˙
ε
z
=
∂v
z
∂z
; ˙
ε
θ
=
v
r
r
; ˙
ε
rz
=
∂v
z
∂r
+
∂v
r
∂z
.
Определение эволюции напряженного состояния материалов, ко-
торые могут претерпевать в рассматриваемой задаче большие пласти-
ческие деформации, базируется на теории пластического течения [1].
Определяющие уравнения этой теории (уравнения Прандтля – Рейсса)
в рассматриваемом случае принимают вид следующих дифференци-
альных соотношений:
d s
z
d t
+ 2
G
˙
λs
z
= 2
G
˙
ε
z
+
1
3
ρ
dρ
dt
;
ds
r
dt
+ 2
G
˙
λs
r
= 2
G
˙
ε
r
+
1
3
ρ
dρ
dt
;
ds
θ
dt
+ 2
G
˙
λs
θ
= 2
G
˙
ε
θ
+
1
3
ρ
dρ
dt
;
d τ
rz
dt
+ 2
G
˙
λτ
rz
=
G
˙
ε
rz
,
где
s
z
,
s
r
,
s
θ
— нормальные компоненты девиатора тензора напря-
жений,
G
– модуль сдвига среды,
˙
λ
— скалярный множитель, опре-
деляемый удельной мощностью пластической деформации
dA
p
/
dt
и
пределом текучести среды
σ
Y
как
˙
λ
=
3
2
σ
2
Y
dA
p
dt
.
При численном решении задач механики упруго-пластических сред
удобно использовать упрощенный метод решения уравнений пласти-
ческого течения Прандтля – Рейсса [6] с использованием так называ-
емой процедуры приведения вектора девиатора тензора напряжений
на круг текучести. В соответствии с данным подходом первоначаль-
но определялись компоненты девиатора тензора напряжений в пред-
положении упругого поведения материала. Для этого используется
следующая система соотношений:
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 1 67