Рис. 2. Деформация полосы в последних клетях стана
По мере продвижения полоса будет более плотно входить в за-
зор между валками: если первоначально контакт был только с одной
внутренней стороны, то на выходе из стана — со всех сторон (рис. 2).
Учитывая условие пластичности (2) и линеаризируем производную
∂τ
rz
∂z
=
2
τ
кон
S
=
2
σ
r
f
S
,
где
τ
кон
=
fσ
r
— зависимость контактного трения от нормального
напряжения;
f
— коэффициент трения по Амонтону;
S
— толщина
полосы.
Запишем уравнение равновесия (1) для зон растяжения ( – ) и сжа-
тия ( + ):
∂σ
r
∂r
±
2
σ
r
f
S
σ
т
r
= 0
.
Полученное линейное однородное уравнение с правой частью ре-
шается классическим методом вариации постоянной. Сначала для зо-
ны растяжения без правой части
∂σ
r
∂r
+
2
σ
r
f
S
= 0
и
σ
r
=
Ce
−
2
fr
S
.
Вариация постоянной определяет
∂σ
r
∂r
=
∂C
∂r
e
−
2
fr
S
−
Ce
−
2
fr
S
∙
2
f
S
.
Подставив полученное решение в линейное уравнение без правой
части, находим сначала
C
=
Z
σ
т
r
e
2
fr
S
, а затем — напряжение
σ
r
=
e
−
2
fr
S
σ
т
Z
e
2
fr
S
r
∂r
+
C
1
.
Полученный интеграл решения, называемый интегральной показа-
тельной функцией, можно представить расходящимся рядом. Поэтому
решением с высокой точностью для зоны растяжения будет являться
фиксированный средний радиус
R
рас
ср
=
R
1
−
0
,
25
S.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 5 87
