Определяя далее с использованием (5) радиальное распределение
осевых напряжений
σ
z
(
r
) =
s
z
(
r
) +
σ
(
r
)
в стержне и интегрируя его
для вычисления осевой силы
F
z
(2) по площади поперечного сечения,
преобразуем уравнение движения стержня (1) к виду
ρ
R
2
2
dv
z
dt
=
∂S
∂z
−
ρ
32
∂
∂z
˙
ε
2
z
−
2
d
˙
ε
z
dt
R
4
−
R
2
2
∂p
m
∂z
,
(7)
где
S
=
12
σ
Y
˙
ε
2
z
(
∂
˙
ε
z
/∂z
)
2
1 +
R
2
12
(
∂
˙
ε
z
/∂z
)
2
˙
ε
2
z
!
1
/
2
−
1
−
−
σ
Y
R
2
sin
2
α
2
1 +
R
2
12
(
∂
˙
ε
z
/∂z
)
2
˙
ε
2
z
!
−
1
/
2
характеризует прочностную составляющую осевой силы (так как за-
висит от предела текучести материала стержня).
Дополнив уравнение (7) вытекающим из (4) законом изменения
радиуса произвольного сечения стержня
dR/dt
=
−
˙
ε
z
R/
2
и учиты-
вая, что
sin
2
α
= (
∂R/∂z
)
2
/
1 + (
∂R/∂z
)
2
, приходим к описанию
динамики деформирования участка КС с возмущениями боковой по-
верхности фактически в рамках одномерной (квазидвумерной) задачи,
где все искомые функции
v
z
,
˙
ε
z
и
R
зависят от времени
t
и лишь одной
осевой координаты
z
(см. рис. 3).
В представляемой модели принимался также во внимание эффект
термического разупрочнения материала стержня (снижения его преде-
ла текучести с ростом температуры). При этом предполагалось, что
стержень нагревается за счет выделения джоулевой теплоты и пласти-
ческой диссипации энергии. Учитывающее данные тепловые факторы
уравнение энергии, записываемое для произвольного сечения стерж-
ня, имеет вид
πR
2
ρc
dT
dt
= 2
π
R
Z
0
ηj
2
rdr
+ 2
π
R
Z
0
σ
Y
˙
ε
i
rdr,
где
c
— теплоемкость материала стержня;
T
— усредненная по сечению
температура;
η
— удельное сопротивление материала;
j
— плотность
тока в сечении.
Вычисляя интегралы в правой части уравнения энергии в пред-
положении равномерности распределения тока по сечениям стержня
j
=
J/πR
2
, где
J
— сила тока в стержне, получаем дифференциальное
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 3 85
