Действующая в сечении осевая сила
F
z
определяется распределе-
нием по нему осевой компоненты
σ
z
тензора напряжений:
F
z
= 2
π
R
Z
0
σ
z
rdr.
(2)
При этом значения компонент девиатора тензора напряжений
s
ij
,
необходимые для расчета механических напряжений (в том числе, и
осевого напряжения
σ
z
), находились с использованием соотношений
Сен-Венана – Леви –Мизеса [16] для несжимаемой жесткопластиче-
ской среды:
s
ij
=
2
σ
Y
3 ˙
ε
i
˙
ε
ij
,
(3)
где
σ
Y
— предел текучести материала стержня;
˙
ε
ij
— компоненты тензо-
ра скоростей деформации;
˙
ε
i
— интенсивность скоростей деформации.
Отметим, что интегрирование уравнения неразрывности для про-
извольного поперечного сечения стержня дает линейный закон рас-
пределения по его радиусу
r
радиальной скорости
v
r
частиц стержня
v
r
=
−
˙
ε
z
r/
2
,
(4)
где
˙
ε
z
=
∂v
z
/∂z
— текущая осевая скорость деформации в данном
сечении. С учетом данного обстоятельства, а также следующего из
принятой гипотезы плоских сечений условия равномерности распре-
деления осевой скорости
v
z
по радиусу сечения
∂v
z
/∂r
= 0
получаем
радиальную
˙
ε
r
, окружную
˙
ε
θ
и сдвиговую
˙
ε
zr
компоненты тензора
скоростей деформации в виде
˙
ε
r
=
∂v
r
∂r
=
−
˙
ε
z
2
; ˙
ε
θ
=
v
r
r
=
−
˙
ε
z
2
; ˙
ε
zr
=
1
2
∂v
r
∂z
=
−
1
4
∂
˙
ε
z
∂z
r,
что, в свою очередь, для определения интенсивности скоростей де-
формации
˙
ε
i
=
√
2
3
q
( ˙
ε
r
−
˙
ε
θ
)
2
+ ( ˙
ε
θ
−
˙
ε
z
)
2
+ ( ˙
ε
r
−
˙
ε
z
)
2
+ 6 ˙
ε
2
zr
дает соотношение
˙
ε
i
=
s
˙
ε
2
z
+
r
2
12
∂
˙
ε
z
∂z
2
.
В результате нормальные компоненты девиатора тензора напряже-
ний
s
z
,
s
r
и
s
θ
с использованием (3) представляются выражениями
s
z
=
2
3
σ
Y
˙
ε
z
s
˙
ε
2
z
+
r
2
12
∂
˙
ε
z
∂z
2
;
s
r
=
s
θ
=
−
1
3
σ
Y
˙
ε
z
s
˙
ε
2
z
+
r
2
12
∂
˙
ε
z
∂z
2
.
(5)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 3 83
