Обозначим через
X, Y
∈
D
область определения функции
f
(
X, Y
)
,
описывающей реальную поверхность в некоторой системе координат
.
Пусть далее
ν
(
X, Y, ~p
)
—
уравнение искомой координатной поверхно
-
сти
;
~p
—
вектор ее параметров
.
В этих обозначениях меры близости реальной и вспомогательной
поверхности записывают следующим образом
:
Γ
1
=
°°°
ν
(
X, Y,
→
p
)
−
f
(
X, Y
)
°°°
2
L
2
=
=
ZZ
X,Y
∈
D
h
ν
(
X, Y,
→
p
)
−
f
(
X, Y
)
i
2
dXdY
;
(
1
)
Γ
2
=
°°°
ν
(
X, Y,
→
p
)
−
f
(
X, Y
)
°°°
L
1
=
=
ZZ
X,Y
∈
D
¯ ¯ ¯
ν
(
X, Y,
→
p
)
−
f
(
X, Y
)
¯ ¯ ¯
dXdY
;
(
2
)
Γ
3
=
°°°
ν
(
X, Y,
→
p
)
−
f
(
X, Y
)
°°°
C
=
= sup
X,Y
∈
D
h
ν
(
X, Y,
→
p
)
−
f
(
X, Y
)
i
,
(
3
)
где
ν
(
X, Y,
→
p
)
>
f
(
X, Y
)
X,Y
∈
D
;
L
2
—
пространство функций
,
интегрируе
-
мых с квадратом по Лебегу
;
L
1
—
пространство функций
,
интегрируе
-
мых по модулю
;
С
—
пространств
o
непрерывных функций
.
Соотношение
(1)
определяет квадратичную меру расстояния между
функциями
f
(
X, Y
)
и
ν
(
X, Y,
→
p
)
,
соотношение
(2) —
линейную
,
а
(3)
—
это форма так называемого равномерного приближения функций
.
Во всех трех случаях следует найти такой вектор
~p
0
,
который миними
-
зирует выражение в правых частях равенств
.
Как известно
,
такой век
-
тор служит решением системы уравнений
~
∇
Γ
i
= 0
.
Из соотношения
(1)
следует
,
что при
i
= 1
вектор
~p
0
определяет поверхность
,
средний
квадрат отклонения которой от реальной поверхности минимален
.
При
i
= 2
получаем поверхность
,
средний модуль отклонения которой от
реальной поверхности минимален
.
Наконец
,
при
i
= 3
находим век
-
тор параметров такой поверхности
,
максимальное расстояние которой
от реальной поверхности минимально
.
При этом в первом и во втором
случаях найденные поверхности рассекают реальную поверхность
,
а в
последнем
—
касательны к ней
.
114 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2004.
№
2
