Точное решение задачи гарантировано при
N
→ ∞
в выражении
(6).
Однако естественно считать
,
что при правильном подборе коэффи
-
циентов
(10)
равенства
(5)
выполняются с нужной точностью и при ко
-
нечном
N
.
Но возможно ли правильное определение коэффициентов
(10)
на основе решения системы
(6)
при конечном
N
,
т
.
е
.
возможна ли
редукция
[13]
этой системы
?
Удобно последовательно согласованное расположение двух мно
-
жеств из коэффициентов
(10)
и двух множеств уравнений из выражений
(6),
с
n
∈ {
1; 2
}
—
по возрастанию сумм
(
r
+
s
)
и
(
k
+
l
)
соответствен
-
но
;
в пределах же каждой группы с совпадающей суммой размещение
возможно в порядке роста
1-
го индекса
(
r
или
k
).
В частности
{{
A
rs
, s
= 1
. . . m
−
1
}
, m
=
r
+
s
= 2
. . .
2
N
}
=
=
{
A
11
, A
12
, A
21
, A
13
, A
22
, A
31
, A
14
, A
23
, A
32
, A
41
. . .
}
.
При таком подходе
,
если
r
=
k
,
s
=
l
,
коэффициенты
F
kl
rs
или
E
kl
rs
будут диагональными в общей матрице коэффициентов для последо
-
вательно записанных уравнений из выражения
(6).
При разложении
(5)
такие диагональные элементы оказываются преобладающими по моду
-
лю в любой строке матрицы
,
и удается доказать неравенство
X
n
∞
X
k,l
=0
∞
X
r,s
=0
(
Z
2
E
+
Z
2
F
)
/
(
Z
2
ϕ
¯ ¯
rs
=
kl
)
<
∞
,
Z
E
=
E
kl
rs
, ϕ
∈ {
F
¯ ¯
n
=1
, E
¯ ¯
n
=2
}
.
(11)
Выполнение неравенства
(11),
обеспечивающее возможность ре
-
дукции
[13],
по существу является следствием ограниченности инте
-
грала
ZZ
k,l
dkdl
ZZ
r,s
drds/
((
k
−
l
)
4
(
r
−
s
)
4
)
,
(
k, l, r, s
)
∈ {
1
. . .
∞}
,
(
|
k
−
l
|
,
|
r
−
s
|
)
>
1
.
Итак
,
решение задачи сведено к анализу определителя конечной
линейной алгебраической системы
(6).
Из условия нетривиальности
решения этой системы следует
,
что искомые значения
Ra
должны обра
-
щать в нуль названный определитель
δ
(
Ra
)
,
записанный для достаточ
-
но больших
,
но конечных значений
N
.
Значения определителей на ПК
вычислялись с привлечением внешней памяти по методу
,
представля
-
ющему обобщение известного подхода Гаусса
:
с последовательным
исключением групп переменных
,
с применением обращения матриц
.
Определитель
δ
(
Ra
)
—
сложная функция
,
часто с большим диапазо
-
ном абсолютных значений в пределах даже весьма узкого интервала
68 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2004.
№
2
