брежимо малыми во всех уравнениях
,
кроме уравнения движения
,
где
это отклонение учитывается лишь с подъемной силой
.
Рассматриваются малые нестационарные возмущения равновесия
(
линейная теория устойчивости
).
Соотношения
,
выводимые из исход
-
ных уравнений подстановкой значений
{
v
1
, t
0
+
t
1
, p
0
+
p
1
}
для ско
-
рости
,
м
/
с
,
температуры
, K,
и давления
,
Па
,
соответственно
,
при этом
оказываются линейными
,
так как можно пренебречь квадратичными по
возмущениям членами
.
Новая система уравнений приведена к безраз
-
мерному виду с использованием в качестве единиц измерения
L
,
AL
,
a/L
,
L
2
/ν
,
νρ
0
a/L
2
—
для расстояния
,
температуры
,
скорости
,
време
-
ни и давления соответственно
;
здесь приняты обозначения
a
,
ν
,
ρ
,
A
—
для температуропроводности
(
м
2
/
с
),
кинематической вязкости
(
м
2
/
с
),
плотности
(
кг
/
м
3
)
и равновесного градиента температуры
(K/
м
)
соот
-
ветственно
.
Подстановка в полученную систему частных решений
,
за
-
висящих от времени
τ
(
с
)
по экспоненциальному закону
,
так называ
-
емых
“
нормальных
”
возмущений
:
{
v, p, t
} ∼
exp(
−
λτ
)
,
где
λ
—
де
-
кремент возмущения
(c
−
1
), —
приводит к системе амплитудных урав
-
нений
.
При
λ
= 0
получаются уравнения нейтральных возмущений
,
характеризующие условия
,
при которых возмущение не затухает и не
нарастает
.
Эти условия как раз и определяют границу устойчивости
равновесия относительно данного возмущения
.
С чисто математиче
-
ской точки зрения доказательство неустойчивости равновесия сводит
-
ся к доказательству существования решений краевой задачи для ней
-
тральных возмущений
.
В настоящей работе выведенные таким образом
уравнения применяются для анализа явлений в областях ограниченных
объемов
,
в которых критические движения имеют
,
в общем случае
,
су
-
щественно трехмерную структуру
.
Но рассматриваются лишь плоские
возмущения
,
соответствующие решениям задачи
,
не зависящим от ко
-
ординаты
z
:
именно такие возмущения
,
в первую очередь
,
наиболее
опасны в смысле нарушения равновесия
.
После введения безразмерной
функции тока
ψ
систему уравнений плоских нейтральных возмущений
можно представить в форме
:
∆∆
ψ
+
R
∂t
∂y
= 0
,
∆
t
+
∂ψ
∂x
= 0;
∆
z
=
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
, v
x
=
∂ψ
∂y
, v
y
=
−
∂ψ
∂x
,
(1)
где
x
∈
(
x
1
;
x
2
)
, y
∈
(
y
1
;
y
2
);
x
1
= 0
, x
2
= 1; 0
≤
y
i
=
a
i
x
+
c
i
≤
Y, i
∈ {
1; 2
}
.
(2)
ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2004.
№
2 65
