Задача подлежала рассмотрению при следующих граничных усло
-
виях
:
y
∈
y
i
:
∂ψ
∂y
=
t
=
ψ
= 0;
x
∈
x
i
:
∂ψ
∂x
=
ψ
= 0
,
∂t
∂x
= 0
¯ ¯ ¯
г
=2
или
t
= 0
¯ ¯ ¯
г
=1
,
(3)
где г
—
род условий для
t
.
Задача заключалась в определении действи
-
тельных значений
Ra
>
0
(c
обственных чисел
),
обеспечивающих не
-
тривиальное решение системы
(1), (3)
относительно
t
,
ψ
(
собственных
функций
).
Собственные функции задачи
(1), (3)
целесообразно искать
в виде линейной суперпозиции некоторых функций
,
называемых ба
-
зисными и удовлетворяющих граничным условиям
.
При рекомендации
метода Бубнова
–
Галеркина
[13]
указан способ определения коэффици
-
ентов разложения и подчеркивается
,
что успех в применении метода
определяется выбором структуры и числа базисных функций
,
входя
-
щих в разложение
.
При удачном выборе базиса достаточно точные ре
-
зультаты получаются уже при аппроксимации решения сравнительно
небольшим числом функций
.
Но
,
естественно
,
для рассматриваемой
задачи конкретных рекомендаций нет
.
К тому же применение метода
приводит лишь к принципиально приближенному решению
.
В работах
[10, 11]
и в настоящей работе используются следующие разложения
:
ψ
=
N
X
r,s
=1
A
rs
Hf
4
Π
x
Π
2
y
;
t
=
N
X
r,s
=0
B
rs
Hf
2
Π
y
Π
г
-1
x
;
H
= sin(
πrx
) sin(
πsy/Y
)
, f
u
= 1
/
(
r
u
+
s
u
)
,
Π
z
=
Y
i
(
z
−
z
i
)
.
(5)
Для выявления системы уравнений относительно коэффициентов
{
A
rs
}
,
{
B
rs
}
зависимости
(5)
нужно подставить в уравнения
(1),
вы
-
полнить дифференцирование
,
провести переразложение выражений в
левых частях уравнений в ряды уже использованного типа
,
но с гораз
-
до более сложной структурой коэффициентов
,
и
,
наконец
,
приравнять
каждый из таких коэффициентов соответствующим значениям в пра
-
вых частях
(
нулевым
).
Двум исходным уравнениям
(1)
соответствуют
две полученные совокупности
(
{
n
}
=
{
1; 2
}
)
соотношений
:
R
X
r
=1
S
X
s
=1
[
B
rs
E
kl
rs
+
A
rs
F
kl
rs
] = 0
,
{
k
}
=
{
l
}
= 1
. . . N, R
=
S
=
N.
(6)
66 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2004.
№
2
