выбранной структуры с конечным числом констант
)
не следует ожи
-
дать их строгого удовлетворения уравнению с оператором Лапласа для
ψ
(
см
.
далее
).
На основе последнего получают совокупность интеграль
-
ных выражений для определения коэффициентов
{
A
n
}
,
обеспечиваю
-
щих решение
,
лишь оптимальное в смысле приближения к точному
,
без
возможности оценки его погрешности
.
Поэтому
,
строго говоря
,
не ис
-
ключена погрешность и в определении
Ra
кр
при последующем исполь
-
зовании решений типа
{
ψ
р
и
t
р
}
,
хотя достоверность ранее полученных
результатов здесь не подвергается сомнению
.
При участии автора настоящей работы предпринята определенная
модернизация описанного подхода с построением точных решений та
-
кой задачи в форме двойных рядов типа Фурье
[10, 11]
или типа Ма
-
клорена
[12],
в которых каждое из слагаемых удовлетворяет граничным
условиям
.
Для определения констант в этих разложениях получена бес
-
конечная линейная система уравнений
,
алгебраическая относительно
числа Рэлея
.
Второй подход технически проще и более экономичный
.
В этом слу
-
чае теоретическое обоснование редуцируемости
[13]
бесконечной си
-
стемы не получено
;
однако
,
вследствие явной разреженности матри
-
цы ее коэффициентов
,
редукция системы вполне допустима при опре
-
делении
Ra
кр
.
Полученные в работе
[12]
значения хорошо согласуют
-
ся с известными литературными данными
.
Однако неудовлетворитель
-
ными по точности оказываются результаты по структуре критических
движений
,
по функциональным завсимостям
ψ
и
t
от координат
.
В на
-
стоящей работе отдано предпочтение первому подходу с рядами Фурье
из
-
за почти очевидной редуцируемости системы
;
выявление значений
Ra
кр
и структуры движений при этом связано с условиями обращения
в ноль достаточно большого
,
но конечного определителя
.
Метод име
-
ет все преимущества аналитического подхода
.
Соответствующая про
-
грамма для ПК
,
хотя и реализует более сложный алгоритм решения
,
оказалась проще и удобнее в практическом использовании
.
Задача оста
-
ется интересной и в связи с возможностью других приложений развива
-
емого подхода
:
к решению широкого класса задач с переменными ко
-
эффициентами при производных
(
и даже слабо нелинейных задач
),
в
том числе и применительно к анализу устойчивости конвективных те
-
чений
.
В работе использованы уравнения тепловой конвекции в приближе
-
нии Буссинеска
[1],
основным моментом в которых является предполо
-
жение о
“
слабой
”
конвекции
:
вызванные неоднородностью температу
-
ры отклонения плотности от среднего значения предполагаются прене
-
64 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Машиностроение
”. 2004.
№
2
