Подставив выражение
(9)
во второе уравнение системы
(8),
найдем
,
что
σ
z
=
−
2
Z
f
2
(
z
)
dz
+
f
(
ρ
)
.
(10)
Из системы
(6)
с учетом зависимостей
(4)
и
(5)
следует
,
что
∂σ
ρ
∂ρ
=
∂σ
z
∂ρ
=
∂f
(
ρ
)
∂ρ
.
(11)
Поскольку
ξ
ρ
=
ξ
θ
,
то из системы
(6)
следует
,
что и
σ
ρ
=
σ
θ
.
С уче
-
том этого подставив выражения
(9)
и
(11)
в первое уравнение системы
(8),
получим
1
ρ
∂f
(
ρ
)
∂ρ
=
−
∂f
2
(
z
)
∂z
.
Так как левая часть этого уравнения зависит только от
ρ
,
а правая
—
только от
z
,
то обе части должны равняться постоянной величине
С
,
откуда
:
f
(
ρ
) =
Cρ
2
2
+
C
1
;
(12)
f
2
(
z
) =
−
Cz
+
C
2
.
(13)
Подставив выражение
(13)
в формулу
(9),
найдем касательное на
-
пряжение
τ
ρz
= (
−
Cz
+
C
2
)
ρ.
Произвольные постоянные
С
и
С
2
определяются из следующих гра
-
ничных условий
:
τ
ρz
=
−
µ
при
z
=
h
и
ρ
=
d/
2
;
τ
ρz
=
µ
при
z
= 0
и
ρ
=
d/
2
.
Отсюда
C
=
4
µ
dh
;
C
2
=
2
µ
d
.
(
14
)
Подставив формулы
(12)–(14)
в выражение
(10),
получим
σ
z
=
4
µ
dh
(
z
2
−
hz
+ 0
,
5
ρ
2
) +
C
1
.
(15)
Вычтя из первого выражения системы
(6)
третье и подставив соот
-
ношения
(4), (5)
и
(15),
найдем
σ
ρ
=
σ
z
+ 1 = 1 +
4
µ
dh
(
z
2
−
hz
+ 0
,
5
ρ
2
) +
C
1
.
(16)
ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Машиностроение
". 2004.
№
1 85
