Учитывая формулы
(1)
и
(3),
находим скорости деформаций
:
ξ
ρ
=
∂v
ρ
∂ρ
=
1
2
∂f
(
z
)
∂z
;
ξ
θ
=
v
ρ
ρ
=
1
2
∂f
(
z
)
∂z
;
ξ
z
=
∂v
z
∂z
=
−
∂f
(
z
)
∂z
;
η
ρ
z
=
∂v
ρ
∂z
+
∂v
z
∂ρ
=
∂
2
f
(
z
)
∂z
2
ρ
2
.
(
4
)
Поскольку
ξ
ρ
=
ξ
θ
,
то
β
= 1
и интенсивность скоростей деформа
-
ций в упрощенной форме можно представить как
ξ
i
=
β
|
ξ
max
|
=
β
|
ξ
z
|
=
∂f
(
z
)
∂z
.
(5)
Уравнения связи Леви
–
Мизеса имеют вид
σ
ρ
=
σ
+
2
3
ξ
ρ
ξ
i
;
σ
θ
=
σ
+
2
3
ξ
θ
ξ
i
;
σ
z
=
σ
+
2
3
ξ
z
ξ
i
;
τ
ρz
=
1
3
η
ρz
ξ
i
,
(
6
)
где
σ
=
σ
ρ
+
σ
θ
+
σ
z
3
—
(7)
среднее главное напряжение
(
гидростатическое давление
).
Уравнения равновесия для данной задачи имеют вид
∂σ
ρ
∂ρ
+
∂τ
ρz
∂z
+
σ
ρ
−
σ
θ
ρ
= 0
,
∂σ
z
∂z
+
∂τ
zρ
∂ρ
+
τ
zρ
ρ
=
0 .
(
8
)
С учетом выражений
(4)
и
(5)
из четвертой формулы системы
(6)
получаем
τ
ρz
=
1
6
∂
2
f
(
z
)
∂z
2
∂f
(
z
)
∂z
ρ
=
f
2
(
z
)
ρ.
(9)
84 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Машиностроение
". 2004.
№
1
