ДИНАМИКА, ПРОЧНОСТЬ, НАДЕЖНОСТЬ
УДК 539.3
Ю. И. К л ю е в, О. А. Н е х а е в с к а я
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ
Предложен матричный метод решения задачи о нестационарных
колебаниях упругих систем, позволяющий успешно реализовать по-
строение дискретной математической модели, адекватно отра-
жающей свойства реального физического объекта, и численное ин-
тегрирование по времени системы дифференциальных уравнений.
Получены конкретные решения для различных нагрузок. Решение
обобщено для случая с демпфированием. Получены независимо от
Ф.Р. Гантмахера, другим способом, решения в виде функций от ма-
триц, совпадающие с решениями Ф.Р. Гантмахера. Для обоснования
достоверности предложенного способа решены тестовые задачи.
Решение задачи о нестационарных колебаниях упругих систем
условно можно разделить на два этапа: построение дискретной мате-
матической модели и численное интегрирование по времени системы
дифференциальных уравнений.
Для построения математической модели обычно используется ме-
тод конечных элементов, требующий априорного задания поля пе-
ремещений в пределах элемента. При интегрировании по времени
применяются принципиально другие методы: пошаговые (типа ме-
тода Рунге–Кутта), разностные методы, разложение решения в ряд по
собственным формам колебаний, метод характеристических поверх-
ностей.
В настоящей статье предложен матричный метод, позволяющий
успешно реализовать оба этапа решения. Математические основы ме-
тода изложены в работе [1].
Решение линеаризованных уравнений движения.
Линеаризо-
ванные уравнения движения представляются в канонической форме:
∂
∂s
Y(
s, t
) = A + B
∂
2
∂t
2
Y(
s, t
) + Q(
s, t
)
,
(1)
где
s
— пространственная координата;
t
— время;
Y(
s, t
) =
= [(U(
s, t
))
т
(P(
s, t
))
т
]
т
— вектор состояния сечения, включающий
в себя обобщенные перемещения и соответствующие им внутренние
силовые факторы;
A
и
B
— матрицы жесткостных и инерционных
характеристик;
Q
— вектор внешних распределенных нагрузок.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 3 23
