Преобразуя соотношения (7) к виду
P(
s
0
, t
)= k
11
+m
11
∂
2
∂t
2
U(
s
0
, t
)+ k
12
+m
12
∂
2
∂t
2
U(
s
l
, t
)+f
1
(
t
)
,
P(
s
l
, t
)= k
21
+m
21
∂
2
∂t
2
U(
s
0
, t
)+ k
22
+m
22
∂
2
∂t
2
U(
s
l
, t
)+f
2
(
t
)
(8)
и используя кинематические и силовые условия сопряжения участков,
получим уравнение движения для конструкции:
M
∂
2
∂t
2
U + KU = F
,
(9)
где
U = [U
т
1
U
т
2
. . .
U
т
n
]
т
,
n
— число узлов.
Отметим, что матрицы
M
и
K
в уравнении (9) получены в резуль-
тате решения системы дифференциальных уравнений, а не в резуль-
тате априорного задания функций перемещений (МКЭ).
Они представлены в аналитическом виде — в виде сходящихся
матричных рядов. Сходимость таких матричных рядов показана в ра-
боте [2].
Запишем уравнение (9) в виде
¨U + CU = P(
t
)
,
(10)
где
C = M
−
1
K
,
P(
t
) = M
−
1
F(
t
)
.
Интегрирование системы дифференциальных уравнений дви-
жения по времени.
Уравнение (10) сводится к уравнению первого
порядка
˙Z(
t
) = D
∙
Z(
t
)G(
t
)
,
(11)
где
Z(
t
) =
U(
t
)
˙U(
t
)
,
D =
0 E
−
C 0
; G(
t
) =
0
P(
t
)
.
Будем считать, что жесткостные и массовые характеристики не
зависят от времени.
Решение (11) на интервале времени
[0
, t
]
находится так же, как и
при интегрировании по координате
s
[1]:
Z(
t
) = K
t
0
(D)Z(0) + K
t
0
(D)
t
Z
0
[K
τ
0
(D)]
−
1
∙
G(
τ
)
dτ
=
= K
t
0
(D)Z(0) +
t
Z
0
K
t
τ
(D)
∙
G(
τ
)
dτ,
(12)
где
K
t
0
(D) = E +
D
t
1!
+
D
2
t
2
2!
+
D
3
t
3
3!
+
. . .
=
e
D
t
,
(13)
26 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 3
