K
t
τ
(D) = E +
D(
t
−
τ
)
1!
+
D
2
(
t
−
τ
)
2
2!
+
D
3
(
t
−
τ
)
3
3!
+
. . . .
(14)
Выражение (13) представляет собой матрицу нормированных ре-
шений системы однородных дифференциальных уравнений в виде ма-
тричного ряда.
Наиболее рациональными с точки зрения времени и точности сче-
та являются вычисления этой матрицы с помощью интеграла Воль-
терра [2]
K
t
0
(D) = (E + Δ
t
∙
D)
k
,
Δ
t
=
t
k
.
Например, при
k
= 1024
, необходимо всего 10 операций умноже-
ния матриц.
Рассмотрим использование предложенного алгоритма при ступен-
чатом приложении нагрузки
G
(
t
) = 0 P
т т
=
const
.
Используя выражения (12)–(14), получим
U(
t
)
˙U(
t
)
=
h
1
h
2
h
5
h
6
U
0
˙U
0
+
h
3
h
4
P
,
(15)
где
h
. . .
h
6
— матричные ряды:
h
1
= E
−
1
2!
C
t
2
+
1
4!
C
2
t
4
−
1
6!
C
3
t
6
+
1
8!
C
4
t
8
−
. . .
;
h
2
= E
t
−
1
3!
C
t
3
+
1
5!
C
2
t
5
−
1
7!
C
3
t
7
+
. . .
;
h
3
= E
t
2
−
1
4!
C
t
4
+
1
6!
C
2
t
6
−
1
8!
C
3
t
8
+
. . .
;
h
4
= h
2
;
h
5
=
−
C
t
+
1
3!
C
2
t
3
−
1
5!
C
3
t
5
+
1
7!
C
4
t
7
−
. . .
;
h
6
= h
1
.
(16)
Соотношения (16) справедливы при любых кинематических усло-
виях закрепления конструкции, в том числе для исследования колеба-
ний незакрепленных конструкций.
При наличии условий закрепления конструкции для рассмотрен-
ного вида нагружения нет необходимости находить частное решение
уравнения (11), так как
h
3
= C
−
1
(E
−
h
1
)
,
h
4
= h
2
.
На основе разработанной теории функций от матриц Ф.Р. Гантмахер
предложил решение уравнения
¨U + CU = P(
t
)
в следующем виде:
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 3 27
