При учете демпфирования уравнение колебаний для конструкции
имеет вид
¨U +
η
C ˙U + CU = P(
t
)
,
(19)
где
η
=
δ
2
π
2
f
1
;
0
,
001
6
δ
6
0
,
02
;
δ
— логарифмический коэффициент
затухания;
f
1
— первая собственная частота конструкции в Гц.
Решение (19) при ступенчатой нагрузке
P(
t
) = P
0
имеет вид
U(
t
) = exp(
−
N
t
) cos(p
1
t
) + Np
−
1
1
sin(p
1
t
) U
0
+ p
−
1
1
sin(p
1
t
) ˙U
0
+
+ p
−
1
1
N
2
+ p
2
1
−
1
[p
1
−
exp(
−
N
t
)(p
1
cos(p
1
t
) + N sin(p
1
t
)] P
0
,
где
N =
1
2
η
C
;
p
1
=
p
C
−
N
2
;
exp(H) =
∞
X
p
=0
H
p
p
!
.
Решение тестовых задач.
Для обоснования правомерности пред-
ложенного способа решены следующие задачи.
1. Исследование волновых процессов при приложении ступен-
чатой нагрузки к защемленной полусфере. Приведен расчет кон-
струкции, представляющей собой полусферическую оболочку, защем-
ленную по краю и нагруженную внезапно приложенной нагрузкой
q
= 10
6
H
м
2
(рис. 1). Исходные данные:
E
1
=
E
2
= 6
,
6708
∙
10
9
Па;
G
23
=
G
13
=
G
12
= 2
,
06
∙
10
9
Па;
ν
12
=
ν
21
= 0
,
32
;
ρ
= 2640
кг
м
3
;
R
= 1
м;
h
= 0
,
1
м.
Рис. 1. Схема приложения сту-
пенчатой нагрузки к защем-
ленной полусфере
На начальном этапе (тт.
1
и
2
(рис. 2))
сфера деформируется с преобладанием
мембранных деформаций всюду, за ис-
ключением узкой краевой зоны; цен-
тральная часть оболочки “еще не зна-
ет” о наличии контурного защемления.
Однако от контура начинает распростра-
няться изгибная волна, сходящаяся к по-
люсу. Фокусируясь в центре, она увели-
чивает деформацию оболочки.
Отметим, что в отличие от цилинд-
ра, где волны от торцов распростра-
няются так же, как по волноводу по-
стоянного сечения, сферический сегмент
представляет собой сходящийся волно-
вод, что приводит к фокусировке вол-
ны и возрастанию изгибных деформа-
ций. При этом коэффициент динамично-
сти может значительно превышать зна-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 3 29
