U(
t
) = cos
√
C
t
U
0
+
√
C
−
1
sin
√
C
t
˙U+
+
√
C
−
1
t
Z
0
sin
h
√
C(
t
−
τ
)
i
P(
τ
)
dτ,
(17)
где синус и косинус от матрицы определяются матричными рядами:
sin(H) =
∞
X
p
=0
(
−
1)
p
H
2
p
+1
(2
p
+ 1)!
; cos(H) =
∞
X
p
=0
(
−
1)
p
H
2
p
(2
p
)!
.
(18)
Используя выражение для матричных функций (18), легко убедить-
ся, что полученное авторами решение (15) полностью совпадает с ре-
шением (17), т. е.
h
1
= cos
√
C
t
; h
2
=
√
C
−
1
sin
√
C
t
;
h
3
=
√
C
−
1
t
Z
0
sin
h
√
C(
t
−
τ
)
i
dτ.
Аналитические значения интеграла частного решения для на-
грузок различного вида.
Авторами получены аналитические значе-
ния интеграла частного решения (17) для нагрузок широкого класса,
в частности:
√
C
−
1
t
Z
0
sin
h
√
C(
t
−
τ
)
i
P
0
dτ
= C
−
1
h
E
−
cos
√
C
t
i
P
0
— для постоянной нагрузки
P(
t
) = P
0
;
√
C
−
1
t
Z
0
sin
h
√
C(
t
−
τ
)
i
P
1
τdτ
= C
−
1
E
t
−
√
C
−
1
sin
√
C
t
P
1
— для линейной нагрузки
P(
t
) = P
1
t
;
√
C
−
1
t
Z
0
sin
h
√
C(
t
−
τ
)
i
P
0
sin(
ωτ
)
dτ
=
= (C
−
E
ω
2
)
−
1
E sin(
ωt
)
−
ω
√
C
−
1
sin
√
C
t
P
0
— для гармонической нагрузки
P(
t
) = P
0
sin(
ωt
)
.
Решение уравнений движения с учетом демпфирования.
Авто-
рами обобщено решение Ф.Р. Гантмахера для исследования колебаний
конструкций с учетом демпфирования.
28 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 3
