где
u, v
— проекции вектора скорости
V
на оси декартовой системы
координат;
p
,
ρ
,
T
— соответственно давление, плотность и темпера-
тура;
R
— газовая постоянная. Здесь все параметры — безразмерные
величины, отнесенные к соответствующим параметрам набегающего
потока. Полная энергия
Е
=
ρ
(
h/γ
+
V
2
/
2)
, где
p
ρ
=
γ
−
1
γ
h
,
р
=
ρR
Т
,
γ
= 1
,
4
.
Введем систему координат, связанную с телом (
r, ψ, z
), где ось
z
параллельна оси вращения конуса. Предположим, что уравнение
поверхности конуса в момент времени
t
= 0
имеет вид
ψ
=
φ
(
r, z
)
.
Тогда при
t >
0
положение границы образующей поверхности конуса
определяется из уравнения
B
(
~x, t
)
≡
φ
(
r, z
) +
θ
(
t
)
−
ψ
= 0
(3)
с соблюдением граничного условия
DB
Dt
= 0
, B
(
~x, t
) = 0;
(4)
здесь
D
Dt
=
∂
∂t
+
~V
r
.
В рассматриваемой задаче уравнения необходимо дополнить усло-
виями перехода через скачок уплотнения (условия Гюгонио). Пусть
для головного скачка уплотнения справедливо соотношение
V
(
~x, t
) = 0
,
тогда для условий перехода на ударной волне должны выполняться
условия сохранения массы, импульса и энергии:
V
τ
1
=
V
τ
2
;
ρ
1
(
V
n
1
−
N
) =
ρ
2
(
V
n
2
−
N
);
p
1
+
ρ
1
(
V
n
1
−
N
)
2
=
p
2
+
ρ
2
(
V
n
2
−
N
)
2
;
γ
γ
−
1
p
1
ρ
1
+ (
V
n
1
−
N
)
2
=
γ
γ
−
1
p
2
ρ
2
+ (
V
n
2
−
N
)
2
,
(5)
где индекс 1 относится к параметрам до ударной волны, а 2 — к пара-
метрам за ударной волной;
V
n
— нормальная составляющая скорости к
поверхности ударной волны;
V
τ
— тангенциальная составляющая ско-
рости к поверхности ударной волны;
N
— скорость движения ударной
волны по нормали к ее поверхности [4].
Введем следующие обозначения:
˜
V
n
1
=
V
n
1
−
N,
˜
V
n
2
=
V
n
2
−
N,
(6)
h
1
=
p
1
ρ
1
γ
γ
−
1
,
(7)
4 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 1
