ному базису:
R
(
k
)
ij
=
n
X
p
=1
ψ
(
k
)
ijp
X
p
.
(16)
Умножение выражения (10) скалярно на
MX
s
8
s
дает возможность
определить все скалярные коэффициенты:
ψ
(
k
)
ip
=
χ
(
k
)
ip
(
p
= 1
,
2
, . . . , n
)
.
(17)
Условие сходимости (16) такое же, как и для разложения (9).
Согласно принятой постановке задачи, кратные собственные зна-
чения отсутствуют, что практически всегда имеет место в реальных
конструкциях. Но при этом следует иметь в виду, что для ряда кон-
струкций, например для некоторых типов крупногабаритных космиче-
ских летательных аппаратов, спектр собственных частот в определен-
ных диапазонах может оказаться достаточно плотным. Таким образом,
появление близких собственных значений является вполне реальным,
что может повлиять на сходимость разложений (9) и (16).
Не касаясь теоретических вопросов сходимости решений в окрест-
ности кратных собственных значений, остановимся на аспектах прак-
тических вычислений. С этой позиции важно не попасть в область
такой близости собственных значений, при которой происходит ка-
тастрофическая потеря точности. В конкретных задачах, рассматри-
ваемых авторами, границы этой области не превышали 1. . . 2% от
кратного собственного значения (близкого к кратному). Если все же
какие-то собственные значения оказались слишком близкими, можно
предложить следующий простой прием. Необходимо задать неболь-
шие вариации параметров модели
Δ
B
, чтобы раздвинуть указанные
собственные значения и выйти, таким образом, из критической обла-
сти. Каким именно параметрам следует дать приращения можно опре-
делить по величинам функций чувствительности этих собственных
значений. Такая операция с инженерной точки зрения вполне коррект-
на по следующим причинам:
— небольшие изменения параметров практически всегда можно
осуществить, оставаясь в пределах точности задания исходных данных
расчетной модели;
— приближаться в определенной мере к опасной области в окрест-
ности исходного вектора
B
можно из точки
B
+Δ
B
с помощью полу-
ченных разложений (4) по вариациям параметров. Далее предлагаемые
рекомендации будут продемонстрированы на конкретном примере.
Разработанный аппарат был программно реализован в пакете
Matlab как дополнение по параметрическому анализу к конечно-
элементным пакетам. В качестве тестовой задачи использована модель
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 1 41
