Будем считать, что
X
k
8
k
ортонормированы следующим образом:
(
X
s
, MX
k
) =
1
при
k
=
s
;
0
при
k
6
=
s,
(2)
тогда
(
X
s
, CX
k
) =
λ
k
при
k
=
s
;
0
при
k
6
=
s.
(3)
Вектор
B
представляет собой набор параметров элементов, из кото-
рых формируется конечно-элементная модель (для балочных элемен-
тов — это характеристики сечения, свойства материала, размер элемен-
та; для оболочечных — толщина и т.д.). В качестве предварительной
операции необходимо определить матрицы чувствительности массы и
жесткости типовых конечных элементов, которые используются при
формировании расчетной модели. Эта операция может быть проведе-
на аналитически или численно. Из полученных матриц составляются
соответствующие глобальные матрицы:
∂C
∂b
i
;
∂M
∂b
i
;
∂
2
C
∂b
i
∂b
j
;
∂
2
M
∂b
i
∂b
j
.
Будем считать, что глобальные матрицы масс и жесткости,
M
и
C
, симметричны, положительно определены и дифференцируемы по
параметрам. Таким образом, собственные значения
X
k
8
k
являются
простыми и их, как и собственные векторы, можно представить в
виде разложений в ряд Тейлора:
λ
k
(
B
+ Δ
B
) =
λ
k
(
B
) +
m
X
i
=1
u
(
k
)
i
+
1
2
m
X
i,j
=1
ν
(
k
)
ij
Δ
b
i
Δ
b
j
+
. . .
;
X
k
(
B
+ Δ
B
) =
X
k
(
B
) +
m
X
i
=1
Q
(
k
)
i
+
1
2
m
X
i,j
=1
R
(
k
)
ij
Δ
b
i
Δ
b
k
j
+
. . . ,
(4)
где
λ
k
(
B
)
,
X
k
(
B
)
— номинальные (базовые) решения;
Δ
B
=
= (Δ
b
1
,
Δ
b
2
, . . . ,
Δ
b
m
)
т
— вектор конечных вариаций параметров;
u
(
k
)
i
=
∂λ
k
∂b
i
;
Q
(
k
)
i
=
∂X
k
∂b
i
, ν
(
k
)
ij
=
∂
2
λ
k
∂b
i
∂b
j
, R
(
k
)
ij
=
∂
2
λ
k
∂b
i
∂b
j
—
скалярные и векторные функции чувствительности собственных зна-
чений и векторов первого и второго порядков.
Продифференцируем уравнение (1) по
b
i
и умножим полученное
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 1 37
