соотношение скалярно на собственный вектор
X
k
:
u
(
k
)
i
(
MX
k
, X
k
) =
∂C
∂b
i
−
λ
k
∂M
∂b
i
X
k
, X
k
+ ((
C
−
λ
k
M
)
Q
(
k
)
i
, X
k
)
.
(5)
Поскольку второе слагаемое в правой части выражения (5) равно
нулю, получим
u
(
k
)
i
=
∂C
∂B
i
−
λ
k
∂M
∂b
i
X
k
, X
k
.
Для нахождения функции чувствительности собственного вектора
заменим в соотношении (5) второй сомножитель во всех произведени-
ях
X
k
на
X
s
(
s
6
=
k
)
:
((
C
−
λ
k
M
)
Q
(
k
)
i
, X
s
) =
−
∂C
∂b
i
−
λ
k
∂M
∂b
i
X
k
, X
s
+
u
(
k
)
i
(
MX
k
, X
s
)
.
(6)
Преобразовав соотношение (6) с учетом того, что
CX
s
=
λ
s
MX
s
,
получим в итоге неполную систему уравнений для определения эле-
ментов вектора чувствительности первого порядка
Q
(
k
)
i
:
(
Q
(
k
)
i
, MX
s
) =
γ
(
k
)
is
(
s
= 1
,
2
, . . . , n
;
s
6
=
k
)
,
(7)
где
γ
(
k
)
is
=
∂C
∂b
i
−
λ
k
∂M
∂b
i
X
k
, X
)
s
.
(
λ
k
−
λ
s
)
.
Для получения недостающего уравнения при
s
=
k
, продифферен-
цируем условие нормирования (2) по
b
i
. После несложных преобразо-
ваний имеем
(
Q
(
k
)
i
, MX
k
) =
γ
(
k
)
ik
,
(8)
где
γ
(
k
)
ik
=
−
1
2
X
k
,
∂M
∂b
i
X
k
.
Выражения (7) и (8) представляют собой полную систему линей-
ных алгебраических уравнений, как правило высокого порядка, с цели-
ком заполненной матрицей коэффициентов. Задача существенно упро-
щается, если искать вектор чувствительности
Q
(
k
)
i
в виде разложения
по ортогональному базису
X
k
8
k
:
Q
(
k
)
i
=
n
X
p
=1
ϕ
(
k
)
ip
X
p
,
(9)
где
ϕ
(
k
)
ip
— скалярные коэффициенты.
38 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 1
