После умножения выражения (9) скалярно на
MX
s
8
s
, получим
ϕ
(
k
)
ip
=
γ
(
k
)
ip
(
p
= 1
,
2
, . . . , n
)
.
В практических задачах, как правило, требуется знание относи-
тельно небольшого количества низших собственных частот и векто-
ров, для которых сумма в формуле (9) быстро сходится.
Схема получения функций чувствительности второго порядка ана-
логична изложенной. Условие (1) дифференцируется по параметрам
b
i
и
b
j
, полученное соотношение скалярно умножается на собствен-
ный вектор
X
k
. Затем после громоздких, но простых преобразований
функция чувствительности собственного значения
λ
k
второго порядка
ν
(
k
)
ij
выражается в следующем виде:
ν
(
k
)
ij
= (
T
(
k
)
ij
X
k
, X
k
) + (
L
(
k
)
i
Q
(
k
)
j
, X
k
) + (
L
(
k
)
j
Q
(
k
)
i
, X
k
)
,
(10)
где
T
(
k
)
ij
=
∂
2
C
∂b
i
∂b
j
−
u
(
k
)
i
∂M
∂b
j
−
u
(
k
)
j
∂M
∂b
i
−
λ
k
∂
2
M
∂b
i
∂b
j
,
L
(
k
)
i
=
∂C
∂b
i
−
u
(
k
)
i
M
−
λ
k
∂M
∂b
i
,
L
(
k
)
j
=
∂C
∂b
j
−
u
(
k
)
j
M
−
λ
k
∂M
∂b
j
.
Преобразуем соотношения (9) к более удобной и рациональной в
вычислительном отношении форме. Для этого необходимо продиффе-
ренцировать условие нормирования (2) и следствие (3) по
b
i
, после
чего подставить в полученные соотношения разложение (9). В резуль-
тате получим:
X
s
,
∂M
∂b
i
X
k
=
−
γ
(
s
)
ik
−
γ
(
k
)
is
;
X
k
,
∂C
∂b
i
X
k
=
−
u
(
k
)
i
−
2
λ
k
γ
(
k
)
ik
;
X
s
,
∂M
∂b
i
X
k
=
−
λ
k
γ
(
s
)
ik
−
λ
s
γ
(
k
)
is
.
(11)
Подставляя соотношения (9) и (11) в выражение (10), получим
ν
(
k
)
ij
в следующем виде:
ν
(
k
)
ij
=
∂
2
C
∂b
i
∂b
j
−
λ
k
∂
2
M
∂b
i
∂b
j
X
k
, X
k
+
+ 2
u
(
k
)
i
γ
(
k
)
jk
+ 2
u
(
k
)
j
γ
(
k
)
ik
+ 2
n
X
s
=1
(
λ
k
−
λ
s
)
γ
(
k
)
is
γ
(
k
)
js
.
(12)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 1 39
