4 / 14
26
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2016. № 3
смотрена периодическая модуляция последнего или ускорения поля
массовых сил:
0
0
1 sin ;
1 Г sin ,
g g
(1)
где Г, Ω и χ — относительная амплитуда, безразмерные частота и
параметр модуляции соответственно.
Применительно к трехмерным течениям из уравнений исключены
возмущение давления
1
p
и горизонтальные компоненты скорости; для
этого к векторному уравнению движения применены операция rot rot и
проектирование на ось
z
. Для вертикальной компоненты скорости
V
z
и
возмущения температуры
Т
1
применена подстановка (
n
— волновое
число возмущений):
1
cos
,
, , ,
, , .
z
T t V v
n v v r z
t t r z
(2)
В итоге получены следующие два уравнения для амплитуд
v
и
t
:
1
Ra
1 sin
v
t
0,5
P
τ
; r
v
(3)
1 Гsin
t
v
t
Pr
0,5
;
1
2 2
1
φ
;
r
r
n r
r r
(4)
2
1
2
φ ;
z
r
(0;
L
),
z
(0;
LZ
),
где φ и ϑ — общее обозначение величин или их комплексов; Pr —
число Прандтля.
Уравнения (3) и (4) использовались в цилиндрических координатах
с полярным углом Φ в плоскости, нормальной оси
z
. При постоянных
g
и θ правые части в (3), (4) равны нулю. Использованы следующие
условия:
1
2
φ 0;
0
v
t
v
t
r
N N
(5)
на осях вращения (
r
= 0,
,
v t
) или на всех внешних границах по-
лостей. В (5)
— род условий для температуры (
{1; 2} при
r = L
;
1 при
} ;
{0;
)
z
LZ
N —
геометрическая нормаль к граничной по-
верхности (соответствующее условие получено с использованием
уравнения неразрывности). Основная цель анализа — найти действи-
тельные значения Ra
>
0 (cобственных чисел), обеспечивающих не-
тривиальное решение —
{ , }
v t
для системы (3)–(5). С их существова-
нием и связывают неустойчивость равновесия жидкости. Собственные
функции
{ , }
v t
целесообразно искать в виде линейных суперпозиций
s