3 / 14
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2016. № 3
25
Используются как точные [9, 10], так и приближенные [1, 12] ме-
тоды расчета. Для цилиндров же конечной высоты со значительным
повышением устойчивости вследствие действия сил вязкости вблизи
дна и крышки строгих аналитических решений автором не найдено.
Доступны публикации результатов, полученных либо существенно
упрощенными методами, либо только для частных вариантов области
решения [1, 6].
Постановка и метод решения задачи.
Для системы уравнений
естественной конвекции решается задача о собственных функциях и соб-
ственных числах {Ra
кр
}, значениях критических чисел Рэлея, обеспечи-
вающих ее нетривиальное решение при однородных условиях однознач-
ности. Практическое использование приведенных результатов сводится к
сопоставлению численных оценок критериев Рэлея {Ra} для конкретных
условий с соответствующими приводимыми в работе критическими зна-
чениями {Ra
кр
}. Значения чисел {Ra}, деленные на температуропровод-
ность жидкости, — это характеристики отношений подъемных сил
вследствие температурной неоднородности плотности к силам вязкого
трения; при этом {Ra
кр
} — это их максимально возможные значения при
равновесии. Конвекция имеет место при {Ra > Ra
кр
}.
Рассматриваются варианты возникновения конвекции, т. е. нару-
шения устойчивости равновесия (но не движения) жидкости. Анализи-
руются поля локальных (неосредненных) скоростей и температурных
возмущений равновесия при возможных неоднородных стационарных
условиях. Для возмущений же применяются соответствующие одно-
родные стационарные условия; вследствие малости этих возмуще-
ний задачи линейны. Используется идея Буссинеска только о линейной
зависимости плотности от температуры. Здесь представляет интерес в
основном сам факт возникновения движения, а не его интенсивность и
дальнейшее развитие.
Для задач рассматриваемого типа применялся подход с реализацией
метода Бубнова — Галёркина; решения для скорости или функции тока
были только оптимальными (в смысле приближения к точным), без воз-
можности оценки погрешности в определении {Ra
кр
}. Автором предпри-
нята модернизация названного подхода — построение решений в форме
рядов типа Фурье с бесконечной, но редуцируемой алгебраической си-
стемой уравнений для коэффициентов в разложениях и с оценкой числа
базисных функций, обеспечивающих требуемую точность расчета.
Применены линеаризованные уравнения тепловой конвекции в
приближении Буссинеска, приведенные к безразмерному виду с масш-
табами
L
, θ
0
,
LZ
,
,
a L
0,5
2
,
L a
2
a a L
для расстояния, темпе-
ратуры, скорости, времени и давления последовательно. Здесь
L
и
LZ —
радиус и высота цилиндра; ρ, ν,
a
,
0
— среднее значение
плотности, кинематическая вязкость и температуропроводность, кон-
станта равновесного градиента температуры соответственно. Преду-