Previous Page  7 / 20 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 20 Next Page
Page Background

Получим нелинейные уравнения динамики рассматриваемой си-

стемы для наиболее общего случая, учитывая относительное движе-

ние, обусловленное упруговязким деформированием роликов и конеч-

ными деформациями присоединенного упругого тела.

Уравнения движения системы для заданных векторов

V

0

,

ω

и обоб-

щенных координат

q

i

составляются на основе принципа Даламбера –

Лагранжа как для свободной системы с освобожденными связями,

включая неизвестные реакции в число внешних сил:

δ

Π =

δA

P

+

δA

ин

,

(1)

где

Π[u]

— потенциальная энергия деформации системы;

δA

P

— ва-

риация работы гравитационных сил, силы тяги

P

0

и реакций

P

1

. . . P

5

со стороны полотна, приложенных в точках с координатами

x

1

ν

,

x

2

ν

,

x

3

ν

;

δA

ин

— вариация работы инерционных сил. Выражения для

δA

P

и

δA

ин

имеют следующий вид:

δA

P

=

Z

V

δ

u

T

g

dm

+

5

X

ν

=0

δ

u

T

(

x

1

ν

, x

2

ν

, x

3

ν

)

P

ν

;

(2)

δA

ин

=

Z

V

δ

u

T

a

dm,

(3)

где

δ

u

— вариация перемещения любой точки тела с учетом вариаций

смещения

δ

u

0

= Λ

δ

R

0

и малого поворота

δθ

подвижной системы

координат

δ

u

=

δ

u

0

+

δθ

×

˜r +

δ

u;

(4)

g

— вектор массовых сил тяготения (будет определен позднее);

dm

=

ρdV

— масса элемента тела, сохраняющая свою величину в

процессе его деформирования;

ρ

(

x

1

, x

2

, x

3

)

— плотность тела;

dV

элемент объема тела. Из выражения для вектора

u

с учетом

ψ

ij

=

ψ

ji

получим

δ

u =

X

i

δq

i

˜

ϕ

i

; ˙u =

X

i

˙

q

i

˜

ϕ

i

;

¨u =

X

i

¨

q

i

˜

ϕ

i

+

X

i

X

j

˙

q

i

˙

q

j

ψ

ij

; ˜

ϕ

i

=

ϕ

i

+

X

j

q

j

ψ

ij

.

(5)

Поскольку вариации

δ

u

0

,

δθ

и

δq

i

произвольны и независимы, из

принципа Даламбера – Лагранжа (1) с учетом (2)–(5) следуют уравне-

ния движения:

Z

V

a

dm

= P;

Z

V

˜r a

dm

= M;

Z

V

˜

ϕ

T

i

a

dm

+

Π

∂q

i

=

Q

i

, i

= 1

,

2

, . . . , n,

(6)

ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 2 99