Previous Page  15 / 20 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 15 / 20 Next Page
Page Background

без использования углов

θ

1

,

θ

2

и

θ

3

, то необходимо разработать иной

алгоритм определения матриц

ˉΛ

и

Λ

, чем приведенный ранее. Ма-

трицу поворота

Λ

получим как матрицу поворота единичного век-

тора

t

= [

t

1

t

2

t

3

]

T

(ось

Ox

1

) на угол

Ψ =

(

Ox

1

, O

ˉ

x

1

)

относительно

некоторого единичного вектора

ξ

= [

ξ

1

ξ

2

ξ

3

]

T

, чтобы ось

Ox

1

совпа-

ла с

O

ˉ

x

1

и вектор

t

совпал с единичным направляющим вектором

ρ

= [

ρ

1

ρ

2

ρ

3

]

T

оси

O

ˉ

x

1

. Координаты вектора

ρ

определяются с по-

мощью уравнения прямой

O

ˉ

x

1

как прямой, проходящей через две

заданные точки

O

и

A

, после нормирования:

ρ

1

=

X

01

(

s

A

)

X

01

(

s

O

)

l

;

ρ

2

=

X

02

(

s

A

)

X

02

(

s

O

)

l

;

ρ

3

=

X

03

(

s

A

)

X

03

(

s

O

)

l

.

Угол поворота

Ψ

найдем из скалярного произведения единичных век-

торов

t

и

ρ

:

cos Ψ =

t

1

ρ

1

+

t

2

ρ

2

+

t

3

ρ

3

.

Координаты вектора

ξ

, вокруг которого осуществляется поворот, опре-

деляются как координаты вектора нормали плоскости

Ox

1

ˉ

x

1

или через

векторное произведение

ξ

=

t

×

ρ

:

ξ

1

=

t

2

ρ

3

t

3

ρ

2

;

ξ

2

=

t

3

ρ

1

t

1

ρ

3

;

ξ

3

=

t

1

ρ

2

t

2

ρ

1

.

Матрица поворота

Ox

1

x

2

x

3

O

ˉ

x

1

ˉ

x

2

ˉ

x

3

, учитывающая локальную

кривизну направляющей поверхности, имеет следующий вид:

Λ

=

 

cos Ψ + (1

cos Ψ)

ξ

2

1

(1

cos Ψ)

ξ

1

ξ

2

+ (sin Ψ)

ξ

3

(1

cos Ψ)

ξ

2

ξ

1

(sin Ψ)

ξ

3

cos Ψ + (1

cos Ψ)

ξ

2

2

(1

cos Ψ)

ξ

3

ξ

1

+ (sin Ψ)

ξ

2

(1

cos Ψ)

ξ

3

ξ

2

(sin Ψ)

ξ

1

=

=

(1

cos Ψ)

ξ

1

ξ

3

(sin Ψ)

ξ

2

(1

cos Ψ)

ξ

2

ξ

3

+ (sin Ψ)

ξ

1

cos Ψ + (1

cos Ψ)

ξ

2

3

 

.

Отсюда определяется матрица

ˉΛ = Λ

Λ

.

Исходные данные для расчета:

R

= 7

м,

λ

= 5

/

2

π

= 0

,

796

м,

V

0

(

t

) = 3

t

+ 7 sin(

t/

2)

м/с,

κ

= 0

,

141

1/м,

æ = 0

,

016

1/м,

ˉ

R

= 0

,

994

,

ˉ

λ

= 0

,

113

,

a

= 1

м,

l

= 2

м,

m

= 100

кг — масса тележки. Коорди-

наты центра тяжести тела (в вертикальной плоскости симметрии) —

r

= [1 0

,

5 0]

T

. Рассматриваемый интервал движения

t

[0

,

20]

с. Чис-

ло разбиений рассматриваемого отрезка времени — 5000. Задача ре-

шалась в двух постановках: без учета локальной кривизны направля-

ющей (расчетный случай 1 — РС № 1), с учетом локальной кривизны

направляющей (расчетный случай 2 — РС № 2). Функция

V

0

(

t

)

была

ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2016. № 2 107