Previous Page  14 / 20 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 14 / 20 Next Page
Page Background

Рис. 3. Общий вид траектории движения

R

— радиус винтовой линии (радиус цилиндрической образую-

щей);

λ

— шаг подъема винтовой линии за угол поворота

ϕ

, рав-

ный 1 рад (

2

πλ

— подъем за один виток) (рис. 3). В любой точке

винтовой линии касательная

t

, нормаль

n

и бинормаль

b

име-

ют следующие координаты (здесь и далее

ˉ

R

=

R

R

2

+

λ

2

,

ˉ

λ

=

=

λ

R

2

+

λ

2

):

t

=

ˉ

R

sin

ϕ

ˉ

R

cos

ϕ

ˉ

λ

T

;

n

=

cos

ϕ

sin

ϕ

0

T

;

b

= ˉ

λ

sin

ϕ

ˉ

λ

cos

ϕ

ˉ

R

T

.

Матрица

Λ

, как матрица направляющих косинусов единичных век-

торов

t

,

n

и

b

(без использования углов

θ

1

,

θ

2

и

θ

3

), записывается в

следующем виде:

Λ =

 

ˉ

R

sin

ϕ

ˉ

R

cos

ϕ

ˉ

λ

cos

ϕ

sin

ϕ

0

ˉ

λ

sin

ϕ

ˉ

λ

cos

ϕ

ˉ

R

 

.

Функциональная связь между длиной дуги

s

(она отсчитывается от

точки

M

(

R,

0

,

0)

при

ϕ

= 0

) и углом закрутки

ϕ

выражается следу-

ющим образом:

s

(

ϕ

) =

ϕ

R

2

+

λ

2

. Кривизна

κ

(

s

)

и кручение

æ(

s

)

винтовой линии в любой ее точке постоянны и равны [10]

κ

(

s

) =

R

R

2

+

λ

2

; æ(

s

) =

λ

R

2

+

λ

2

.

Поскольку подвижная система координат

Ox

1

x

2

x

3

связана с трех-

гранником Френе, то вектор мгновенной угловой скорости

ω

может

быть определен через векторное соотношение

ω

= æ

t

+

κb

. Посколь-

ку матрица

Λ

и вектор

ω

в данном примере могут быть записаны

106 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 2