Тензор
D
v
выражается по закону течения через девиатор напря-
жений
D
v
=
3
2
˙
ε
v
σ
v
dev
σ
B
,
(12)
где
˙
ε
v
,
σ
v
— интенсивности скоростей деформаций и напряжений в
вязкой среде.
Для установления зависимости
˙
ε
v
=
f
(
σ
v
, λ
v chain
)
в работе [2]
использована физическая концепция движения макромолекул эласто-
мера в так называемом полимерном расплаве [10]. Исходя из этой
концепции и привлекая результаты обширных экспериментов на ре-
зинах различных марок, Бергстрем и Бойс предложили следующую
аппроксимацию закона:
˙
ε
v
=
Aσ
m
v
(
λ
B
v chain
−
1 +
δ
0
)
n
,
(13)
где
A
,
m
,
n
— параметры закона деформирования;
δ
0
— малая посто-
янная деформация, добавляемая, чтобы описать скорость ползучести
при нулевой деформации.
Заметим, что соотношение (13) — это уравнение теории упрочнения
[11], записанное для полимерных цепочек. Используем это соотноше-
ние для расчета полиуретана.
Из кинетического уравнения (11) с учетом закона течения (12), (13)
можно выразить скорость упругой деформации
˙F
e
= ˙FF
−
1
F
e
−
3
2
A
(
σ
B
v
)
m
−
1
(
λ
B
v chain
−
1 +
δ
0
)
n
F
e
dev
σ
B
.
(14)
Если предположить, что градиент деформации
F
и его скорость
˙F
фиксируются в ходе эксперимента и являются известными функциями
времени, то соотношение (14) можно рассматривать как дифференци-
альное уравнение относительно градиента упругой деформации
F
e
.
При этом динамическая составляющая напряжения
σ
B
выражается
через тензор
F
e
. Примем, что напряжение
σ
B
подчиняется тем же за-
конам упругости, что и напряжение
σ
A
равновесного состояния, т.е.
либо закону Муни – Ривлина
σ
B
=
k
(
J
e
−
1)I + 2
J
−
1
e
(
C
B
10
+ ˉ
I
1
C
e
C
B
01
)dev ˉB
e
−
2
J
−
1
e
C
B
01
dev ( ˉB
e
ˉB
e
)
,
(15)
либо закону Арруда – Бойс
σ
B
=
k
(
J
e
−
1)I +
G
B
J
e
λ
B
e chain
L
−
1
(
λ
B
e chain
/λ
B
lock
)
L
−
1
(1
/λ
B
lock
)
dev ˉB
e
.
(16)
Интегрирование дифференциального уравнения (14) должно вы-
полняться с начальным условием
F
e
|
t
=0
= I
.
(17)
52 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 6
