Рис. 1. Схема передачи теплоты в стержне
постоянного поперечного сечения
Через внешнюю поверх-
ность стержня отводится те-
пловой поток путем конвекции,
который при отсутствии гради-
ента температуры в попереч-
ном сечении стержня можно
представить в виде стока теп-
лоты из объема
dV
=
S
0
dx
.
В этом случае количество те-
плоты, покидающей в едини-
цу времени объем
dV
с пло-
щадью внешней поверхности
d
Φ (
x
) = Π
dx
, равно
q
V
=
−
α
1
(
T
−
T
с
)
d
Φ (
x
)
dV
=
−
α
1
(
T
−
T
с
)
Π
S
0
,
(1)
где
Π
— периметр стержня.
Дифференциальное уравнение, описывающее температурное поле
в рассматриваемом монолитном (не пористом) стержне, принимает
вид
d
2
˜
T
dx
2
−
m
2
˜
T
+
q
V
λ
с
= 0
,
(2)
где
˜
T
=
T
−
T
с
;
m
=
p
α
1
Π
/λ
с
S
0
;
λ
с
— теплопроводность материала
стержня;
α
1
— коэффициент теплоотдачи на его боковой поверхности;
T
с
— температура среды, окружающей стержень.
Полагая, что длина стержня конечна и равна
l
, примем на его тор-
цах следующие граничные условия:
x
= 0 :
T
=
T
1
;
x
=
l
:
−
λ
с
dT
dx
=
α
2
(
T
2
−
T
с
)
,
где
T
1
и
T
2
— температуры стержня на его левом и правом торцах соот-
ветственно;
α
2
— коэффициент теплоотдачи на правом торце стержня.
Для изложенной выше постановки температурное поле в стержне
может быть найдено из решения краевой задачи
d
2
˜
T
dx
2
−
m
2
˜
T
+
q
V
λ
с
= 0
,
(3)
˜
T
= ˜
T
1
при
x
= 0
,
(4)
−
λ
с
d
˜
T
dx
=
α
2
˜
T
2
при
x
=
l,
(5)
где
˜
T
1
=
T
1
−
T
с
и
˜
T
2
=
T
2
−
T
с
.
30 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 2
