Из трех корней уравнения (47) только два соответствуют физи-
ческому смыслу рассматриваемой задачи:
Z
1
= 0
и положительное
значение корня
Z
2
Z
2
,
3
=
−
1
±
p
1 + 4
B
√
A
2
B
.
(48)
Корень
Z
3
<
0
. В случае отсутствия в ребре внутреннего тепловыде-
ления
(
B
= 0)
корень
Z
2
после раскрытия неопределенности в выра-
жении (48) принимает вид
Z
2
=
√
A
.
Значение
Z
=
Z
опт
, обеспечивающее максимальное значение
η
p,
max
,
определяется из условия
dη
p
/dZ
= 0
и формулой
Z
опт
=
s
1
(2
B
+
√
A
)
2
+
√
A
2
B
+
√
A
−
1
2
B
+
√
A
.
(49)
В частном случае, когда в материале ребра отсутствуют внутренние
источники теплоты
(
B
= 0)
Z
опт
=
r
1
A
+ 1
−
1
√
A
.
(50)
Оценка эффективности оребрения оболочки водоохлаждаемого
ГИИ, выполненной из лейкосапфира, проводилась для следующих
исходных данных:
λ
с
= 25
Вт/(м
∙
K);
α
ж
= 5
∙
10
3
Вт/(м
2
∙
K);
q
V
= 87
×
×
10
6
Вт/м
3
;
(
ml
) = 2
и
f
(
ml
) = 0
,
5
; температура на внешней поверх-
ности горячей оболочки и в основании ребра
T
1
= 400
K;
T
ж
= 300
K;
a
= 1
,
5
∙
10
−
3
м.
Для указанных значений параметров теплообмена с помощью фор-
мул (40), (46) и (49) последовательно найдены безразмерные комплек-
сы величин:
C
= 0
,
5330
;
A
= 6
,
6667
;
B
= 0
,
3369
и
Z
опт
= 0
,
6349
.
Подстановка полученного значения
Z
опт
в выражение (45) дает
η
p
= 1
,
82
, что практически удваивает величину коэффициента тепло-
отдачи
α
=
α
ж
∙
η
p
= 9
,
1
∙
10
3
Вт/(м
2
∙
K)
.
Оптимальная толщина ребра
h
опт
= (
Z
опт
)
2
a
= 0
,
63
∙
10
3
м. Параметр
m
и длина ребра
l
получаются равными
m
=
m
опт
=
r
2
α
ж
λ
с
h
опт
= 0
,
8165
∙
10
3
1
/
м
;
l
=
2
m
опт
= 2
,
45
∙
10
−
3
м
.
Аналогичный расчет при отсутствии в материале ребра внутренне-
го тепловыделения по формулам (50) и (45) при
B
= 0
и прочих оди-
наковых условиях приводит к следующему результату:
Z
опт
= 0
,
6851
;
η
p
= 1
,
81
;
h
опт
= 0
,
7
∙
10
−
3
м;
l
= 2
,
65
∙
10
−
3
м.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 2 39
