Здесь
P
=
P
( ¯
T
(
t
))
— давление ГЖВ на поверхности вакуоли, ко-
торое рассчитывалось (см. ниже) по среднеинтегральной (по объему
вакуоли) температуре
¯
T
(
t
)
на данный моментвремени.
Тензоры деформаций
u
ik
и напряжений
σ
ik
имеюттолько диаго-
нальные компоненты, которые рассчитываются по формулам [5]:
u
rr
=
∂u
∂r
, u
θθ
=
u
ϕϕ
=
u
r
;
σ
rr
=
E
(1 +
σ
) (1
−
2
σ
)
2
σu
θθ
+ (1
−
σ
)
u
rr
−
1 +
σ
3
α
(
T
−
T
0
) ;
σ
θθ
=
σ
ϕϕ
=
E
(1 +
σ
) (1
−
2
σ
)
u
θθ
+
σu
rr
−
1 +
σ
3
α
(
T
−
T
0
)
.
В этом случае главные напряжения определяются по соотно-
шениям
σ
1
= max (
σ
rr
, σ
θθ
)
, σ
3
= min (
σ
rr
, σ
θθ
)
.
Численное решение уравнений (3)–(6) проведено методом конеч-
ных элементов в программном комплексе ANSYS 11.0. Для решения
задачи был выбран тип квадратичного 20-узлового элемента: для те-
пловой задачи — solid90, для прочностной — solid186. С учетом сфери-
ческой симметрии расчетной областью являлась 1/8 часть сферической
частицы. Краевые условия на плоских границах расчетной области со-
ответствовали условиям симметрии: производные искомых функций
по нормали к поверхности равны нулю. Общее число элементов в
расчетной области различно для частиц разных размеров, и, как по-
казали результаты тестовых расчетов, их число для частиц диаметром
d
= 0
,
1
мм должно составлять 13500, а при
d
= 0
,
4
мм — 23328.
Анализ полученных результатов начнем с выявления особенно-
стей пространственно-временного распределения температурного по-
ля
T
(
r, t
)
и термических напряжений
σ
T
экв
в безвакуольной частице.
Нагрев частицы происходит на фоне монотонного возрастания тем-
пературы поверхности
T
s
по закону (2) до максимального асимпто-
тического значения
T
0
+
T
m
. Характерный масштаб времени вырав-
нивания температуры в частице
t
в
∼
d
2
/
4
a
(
d
— диаметр части-
цы,
a
≈
2
,
5
мм
2
/с — коэффициент температуропроводности кварца)
существенно зависитотдиаметра и составляет
t
в
∼
10
−
3
с — при
d
= 0
,
1
мм и
t
в
∼
10
−
2
с — при
d
= 0
,
4
мм. Сравнение времен вы-
равнивания
t
в
с характерным масштабом времени нагрева
t
р
= 10
−
3
с
указыаетна то, что в мелких частицах (
d
= 0
,
1
мм) градиенттем-
ператур велик только на начальной фазе, т.е. в промежутке времени
от0 до
∼
2
t
р
, а в т ечение ост ального времени температура распреде-
лена по частице практически равномерно. Чем крупнее частица, тем
заметнее эффекты нестационарности нагрева, проявляющиеся в на-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 4 7
