Напряжение в протянутой части стенки определяем из следующего
выражения:
σ
c
=
σ
ρ
|
ρ
=
a
+
P
τ
|
ρ
=
a
π
(
R
2
−
r
2
)
.
(11)
Аналогично выражению (9) можно получить, что
P
τ
|
ρ
=
a
=
πβa
(1
−
cos
α
)(
R
−
0
,
5
a
sin
α
)
.
(12)
Подставив выражения (5), (6), (10), (12) в равенство (11) и учи-
тывая, что при плоской деформации
β
= 1
,
155
, а из геометрических
соображений
b
=
R
−
r
0
sin
α
, a
=
R
−
r
sin
α
,
(13)
окончательно получим
σ
c
= 1
,
155 1 +
μ
1
−
0
,
5
μ
sin
α
ln
R
−
r
0
R
−
r
+
1
−
cos
α
sin
α
.
(14)
Поскольку угол матрицы
α
при вытяжке по внутренней поверхно-
сти невелик, то деформированное состояние заготовки является ста-
ционарным и достаточно равномерным в поперечном направлении.
Поэтому можно определять среднее по очагу пластической деформа-
ции напряжение текучести по формуле
σ
s
=
σ
s
0
+
σ
s
к
2
,
(15)
в которой конечное напряжение текучести
σ
s
к
определяется по значе-
нию накопленной деформации протянутой части стенки:
e
i
= 1
,
155 ln
R
2
−
r
2
0
R
2
−
r
2
.
(16)
Полная сила вытяжки по внутренней поверхности будет равна:
P
=
σ
s
π
(
R
2
−
r
2
)
σ
c
=
= 3
,
63
σ
s
(
R
2
−
r
2
) 1 +
μ
1
−
0
,
5
μ
sin
α
ln
R
−
r
0
R
−
r
+
1
−
cos
α
sin
α
.
(17)
По выражению (17) из условия
∂
Р
/∂α
= 0
можно найти оптималь-
ный угол конусности пуансона, при котором сила вытяжки будет ми-
нимальной:
cos
α
P
=
1
1 + (
μ
1
−
0
,
5
μ
) ln
R
−
r
0
R
−
r
.
(18)
Из сравнения выражений (14) и (17) видно, что в отличие от вы-
тяжки с утонением стенки при вытяжке по внутренней поверхности
найденный оптимальный угол равен оптимальному углу, при котором
94 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 2
