Недостатки этого решения подробно рассмотрены в разделе 12.7 мо-
нографии [5].
Для нового решения используем соотношения наиболее общей на
современном уровне теории пластического течения.
Расчетная схема вытяжки по внутренней поверхности показана на
рис. 6. Очаг пластической деформации сосредоточен в зоне
1
, ниже
которой расположена исходная часть заготовки
2
, а выше — протянутая
часть заготовки
3
.
Принимаем следующие допущения: материал считаем жесткопла-
стическим, а упрочнение учитываем средним по очагу пластической
деформации значением напряжения текучести
σ
s
; силы контактного
трения определяем по закону Зибеля как
τ
к
=
μβσ
s
, где
μ
— коэффи-
циент трения по напряжению текучести, а
β
— коэффициент Лоде. При
этом используем относительные напряжения, отнесенные к среднему
напряжению текучести
σ
s
.
Рассмотрим зону
1
. При расчете пластического течения в анало-
гичной зоне (см. раздел 6.3 работы [5]) математически обосновано, что
при обычно применяемых на практике углах
α
6
20
◦
скорость танген-
циальной деформации
ξ
θ
≈
0
, т.е. рассматриваемую задачу можно
считать плоской. Поэтому при решении используем полярные коорди-
наты
ρ
и
ϕ
.
Напряженное состояние в зоне
1
определяется выражениями (см.
раздел 6.3 работы [5]),
σ
ρ
=
β
+ (
С
−
β
) ln
ρ
+
C
2
;
σ
ϕ
= (
С
−
β
) ln
ρ
+
C
2
;
τ
ϕρ
=
−
С
ϕ
+
С
1
,
(5)
где
С
,
С
1
,
С
2
— произвольные постоянные интегрирования.
Эпюру скорости перемещения деформируемого металла
v
ρ
по по-
верхности матрицы с достаточной для практики точностью можно
считать линейной (см. рис. 6, слева). Тогда в соответствии с доказа-
тельством из раздела 14.3 книги [7] следует принять, что сила кон-
тактного трения по матрице определяется не коэффициентом трения
μ
, а его половиной. С учетом этого произвольные постоянные
С
и
С
1
находятся из граничных условий:
τ
ϕρ
= 0
,
5
βμ
при
ϕ
= 0
и
τ
ϕρ
=
βμ
1
при
ϕ
=
α
, откуда
С
=
β
(0
,
5
μ
−
μ
1
)
/α,
С
1
= 0
,
5
βμ,
(6)
где
μ
1
— коэффициент трения по пуансону.
Вследствие изменения направления скорости движения материала
в зоне
2
по отношению к
v
ρ
в зоне
1
на границе между ними возникает
разрыв в касательных составляющих скоростей, приводящий к резкой
локализации сдвиговых деформаций и, соответственно, к появлению
92 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 2
