аналогичной формуле (15). Из условия отсутствия теплообмена в по-
лости шарового включения с учетом соотношения (23) находим
A
1
= 2
B
1
/R
3
0
,
(24)
а при
r
=
R
1
из условия непрерывности плотности теплового потока
с использованием соотношений (23) и (24) следует
q
=
−
λG
=
−
λ
1
(
A
1
−
2
B
1
/R
3
1
) =
−
λ
1
A
1
(1
−
¯
R
3
0
)
.
Отсюда находим
A
1
=
λ
λ
1
·
G
1
−
¯
R
3
0
.
(25)
В данном случае
Δ
T
к
(
θ
) = (
λ/α
)
G
cos
θ
и формула (21) с учетом
соотношений (22), (24) и (25) примет вид
I
1
[
q
] =
−
(
λG
)
2
2
HS
0
−
2
πR
3
2
/
3
λ
+ 2
π
R
3
2
−
R
3
1
3
λ
2
+
+ 2
πR
3
1
(1 + ¯
R
3
0
/
2)
3
λ
1
(1
−
¯
R
3
0
)
+ 2
π
R
3
1
3
λ
2
β
+
λG
2
HS
0
.
(26)
Принятые в качестве допустимых распределения температуры и
плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от
действительных и поэтому значения
J
1
[
T
]
и
I
1
[
q
]
не будут совпадать,
причем
J
1
[
T
]
> I
1
[
q
]
. В промежутке между этими значениями долж-
но быть расположено и значение
J
0
= (
λ/
2)
G
2
HS
0
минимизируемого
функционала (13) для однородной области с коэффициентом тепло-
проводности
λ
. Тогда при
(
R
1
/R
2
)
3
=
C
V
с учетом формулы (20) из
условия
J
1
[
T
]
J
0
получим
λ
(1
−
C
V
) + ¯
λβ
¯
λ
+
β
(1 + ¯
R
3
0
/
2)(1
−
¯
R
3
0
)
( ¯
λ
(1
−
¯
R
3
0
) +
β
(1 + ¯
R
3
0
/
2))
2
=
λ
+
,
а при использовании формулы (26) из условия
I
1
[
q
]
J
0
найдем
λ
1
1
−
C
V
+ (
C
V
/
¯
λ
)(1 + ¯
R
3
0
/
2)
/
(1
−
¯
R
3
0
) +
C
V
/β
=
λ
−
.
На рис. 1 для случая
R
0
= 0
и
β
= 1
при различных значениях
¯
λ
приведены графики зависимостей от
C
V
верхней
λ
+
(штрихпунк-
тирные линии) и нижней
λ
−
(штриховые линии) оценок отношения
λ
=
λ/λ
2
. Сплошными линиями представлены графики зависимостей
λ
, построенные по формуле (9), которая в случае
R
0
= 0
принимает
вид
λ
=
2 ¯
λ
+
β
(2 + ¯
λ
)
−
2(
β
(1
−
¯
λ
) + ¯
λ
)
C
V
2 ¯
λ
+
β
(2 + ¯
λ
) + (
β
(1
−
¯
λ
) + ¯
λ
)
C
V
.
(27)
Из этого рисунка следует, что разность
λ
+
−
λ
−
уменьшается по мере
увеличения значения
¯
λ
. П ри
¯
λ
= 10
и
¯
λ
= 100
кривые для
λ
−
, отме-
ченные соответственно светлыми кружками и квадратами, практиче-
ски совпадают со сплошными кривыми для
λ
и штрихпунктирными
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 2 127
