аналогичное формуле (5). При
r
=
R
1
из условия непрерывности
плотности теплового потока с использованием соотношений (15) и
(16) следует
β
(
G
−
¯
A
1
(1 + ¯
R
3
0
/
2)) = ¯
λ
¯
A
1
(1
−
¯
R
3
0
)
.
Отсюда находим
¯
A
1
=
Gβ
¯
λ
(1
−
¯
R
3
0
) +
β
(1 + ¯
R
3
0
/
2)
(17)
и
Δ
T
к
(
θ
) =
GR
1
¯
λ
(1
−
¯
R
3
0
) cos
θ
¯
λ
(1
−
¯
R
3
0
) +
β
(1 + ¯
R
3
0
/
2)
.
(18)
Составляющие градиента температуры в шаровом включении, соглас-
но соотношению (15), равны
∂T
∗
1
∂r
= ( ¯
A
1
−
2 ¯
B
1
/r
3
) cos
θ
и
1
r
∂T
∗
1
∂θ
=
−
( ¯
A
1
+ ¯
B
1
/r
3
) sin
θ,
что позволяет вычислить
(
∇
T
∗
1
)
2
= ( ¯
A
2
1
+ 2 ¯
A
1
¯
B
1
)(1
−
3 cos
2
θ
)
/r
3
+ ¯
B
2
1
(1 + 3 cos
2
θ
)
/r
6
.
(19)
Тогда из формулы (13) с учетом равенств (14), (16), (18) и (19)
получим
J
1
[
T
] =
λ
G
2
2
HS
0
−
2
πR
3
2
3
λ
G
2
2
+ 2
π
R
3
2
−
R
3
1
3
λ
2
G
2
2
+ 2
π
R
3
1
−
R
3
0
3
×
×
λ
1
¯
A
2
1
2
(1 + ¯
R
3
0
/
2) + 2
π
R
3
1
3
λ
2
¯
λ
2
β
(1
−
¯
R
3
0
)
2
( ¯
λ
(1
−
¯
R
3
0
) +
β
(1 + ¯
R
3
0
/
2))
2
.
(20)
Примем для максимизируемого функционала [4]
I
[
q
] =
−
1
2
V
q
(
M
)
2
Λ(
M
)
dV
(
M
)
−
S
T
(
P
)
q
(
P
)
·
n
(
P
)
dS
(
P
)
−
−
2
πR
2
1
α
2
π/
2
0
Δ
T
к
(
θ
) sin
θ dθ, P
∈
S,
(21)
где
n
— единичный вектор внешней нормали к поверхности
S
, в ка-
честве допустимого распределения вектора плотности теплового по-
тока
q
при
r R
1
постоянное значение
q
=
−
λG
единственной со-
ставляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра.
В шаровом включении скалярный квадрат вектора плотности тепло-
вого потока представим с учетом соотношения (19) в виде
q
2
=
λ
2
1
(
∇
T
◦
1
)
2
=
= (
A
2
1
+ 2
A
1
B
1
)(1
−
3 cos
2
θ
)
/r
3
+
B
2
1
(1 + 3 cos
2
θ
)
/r
6
,
(22)
соответствующем распределению температуры во включении, опреде-
ляемому формулой
T
◦
1
(
r, θ
) = (
A
1
r
+
B
1
/r
2
) cos
θ,
(23)
126 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 2
