удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координа-
тах имеет вид
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂T
∂r
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂θ
sin
θ
∂T
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
T
∂ϕ
2
= 0
.
(1)
В данном случае благодаря параллельности заданного вектора гра-
диента температурного поля и оси отсчета угловой координаты
θ
рас-
пределение температуры симметрично относительно этой оси и не
зависит от угловой координаты
ϕ
, т.е.
∂
2
T/∂ϕ
2
≡
0
.
По мере приближения к составной шаровой частице температурное
поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое
также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым
Δ
T
(
r, θ
) = (
B/r
2
) cos
θ
, где
B
— подлежащий определению постоян-
ный коэффициент. Таким образом, температурное поле в однородном
материале, удовлетворяющее заданному условию при
r
→ ∞
и урав-
нению (1), описывает функция
T
(
r, θ
) =
T
∞
(
r, θ
) + Δ
T
(
r, θ
) = (
Gr
+
B/r
2
) cos
θ.
(2)
Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в
шаровом включении
T
1
(
r, θ
) = (
A
1
r
+
B
1
/r
2
) cos
θ
(3)
и в слое материала матрицы
T
2
(
r, θ
) = (
A
2
r
+
B
2
/r
2
) cos
θ.
(4)
В равенства (2)–(4) входят 5 неизвестных коэффициентов
B
,
A
1
,
B
1
,
A
2
и
B
2
, которые необходимо найти из граничных условий на
сферических поверхностях с радиусами
R
0
,
R
1
и
R
2
. П ри
r
=
R
0
из условия отсутствия теплообмена в полости шарового включения с
учетом равенства (3) получим
∂T
1
∂r
r
=
R
0
= (
A
1
−
2
B
1
/R
3
0
) cos
θ
= 0
или
A
1
= 2
B
1
/R
3
0
.
(5)
При
r
=
R
1
из условия непрерывности плотности теплового потока
следует
λ
2
∂T
2
∂r
r
=
R
1
=
α T
2
(
R
1
, θ
)
−
T
1
(
R
1
, θ
) =
λ
1
∂T
1
∂r
r
=
R
1
.
Отсюда с использованием равенств (3) и (4) находим
A
2
−
2
B
2
/R
3
1
=
β
(
A
2
−
A
1
+ (
B
2
−
B
1
)
/R
3
1
) = ¯
λ
(
A
1
−
2
B
1
/R
3
1
)
,
(6)
где
β
=
αR
1
/λ
2
и
¯
λ
=
λ
1
/λ
2
. Наконец, при
r
=
R
2
условия идеального
теплового контакта, соответствующие непрерывности не только плот-
ности теплового потока, но и распределения температуры, позволяют
записать
λ
∂T
∂r
r
=
R
2
=
λ
2
∂T
2
∂r
r
=
R
2
, T
(
R
2
, θ
) =
T
2
(
R
2
, θ
)
.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 2 123
