модифицированного наноструктурными элементами, зависит от их
объемной концентрации
C
V
, от соотношения между коэффициентами
теплопроводности матрицы и применяемых при модификации элемен-
тов, а также от условий теплового контакта между этими элементами
и матрицей. В данной работе ограничимся рассмотрением композита,
модифицированного элементами в виде полого шара, который можно
считать приемлемым приближением к геометрической форме фулле-
рена [1].
Математическую модель переноса тепловой энергии в композите
построим в предположении, что шаровые включения в общем слу-
чае не контактируют между собой, т.е. отделены друг от друга слоем
материала матрицы. Композит считаем состоящим из множества со-
ставных шаровых частиц, каждая из которых включает полый шар с
наружным радиусом
R
1
, окруженный слоем материала матрицы. При-
мем, что такая составная частица с наружным радиусом
R
2
является
представительным элементом структуры композита и в тепловом от-
ношении взаимодействует с неограниченным массивом однородного
материала, коэффициент теплопроводности
λ
которого подлежит опре-
делению как эффективная характеристика композита. Таким образом,
модель композита содержит три фазы: включение, слой матрицы и
неограниченный массив однородного материала. При этом отношение
R
3
1
/R
3
2
равно объемной концентрации
C
V
включений в композите. Та-
кая модель формально применима во всем промежутке
C
V
∈
[0
,
1]
, но
ее использование корректно до таких значений
C
V
<
1
, при которых
влияние теплового взаимодействия между соседними включениями
можно считать малосущественным.
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой составной
частицы и окружающего ее однородного материала, полагая коэф-
фициенты теплопроводности
λ
1
и
λ
2
материалов соответственно по-
лого шара и матрицы заданными. Термическое сопротивление меж-
ду включением и матрицей, характеризующее неидеальный тепловой
контакт на разделяющей их поверхности радиусом
R
1
, является ве-
личиной, обратной коэффициенту
α
контактного теплообмена. При
α
→ ∞
тепловой контакт на этой поверхности становится идеаль-
ным. Тепловой контакт на сферической поверхности радиусом
R
2
,
отделяющей составную частицу от массива однородного материала,
примем идеальным.
Центр полого шара с внутренним радиусом
R
0
и наружным ра-
диусом
R
1
< R
2
поместим в начале сферической системы координат.
Примем, что на большом расстоянии
r
от начала координат задан
вектор градиента температурного поля в однородном материале, на-
правленный по оси сферической системы координат, от которой про-
исходит отсчет угловой координаты
θ
, т.е. при
r
→ ∞
установившее-
ся распределение температуры в этом материале описывает функция
T
∞
(
r, θ
) =
Gr
cos
θ
, где
G
— модуль вектора градиента. Эта функция
122 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 2
